Cтраница 2
Аналитическое изображение ( ряды Р о in с are, бесконечные произведения, разложение по главным частям) автоморфной функции зависит от показателя сходимости последовательности расстояний от эквивалентных точек до особого множества. [16]
Если функции / и ср, участвующие в различных теоремах композиции этой главы, не являются однозначными, то соответствующие утверждения все же остаются справедливыми при условии, что 5CTbf, SCT2 cp являются особыми множествами функций / и ср ( соответственно относительно полуплоскостей Ра Лт2) к которым прибавлены разрезы, делающие эти функции однозначными вне полученных таким образом множеств. Однако теперь не утверждается, что составная функция F сама является однозначной в соответствующей области. [17]
Назовем это множество особым множеством функции f относительно полуплоскости Pa. Точки прямой а а принадлежат, очевидно, Sai. Но для того чтобы приводимые ниже результаты имели место всегда, следует определить особое множество указанным выше образом. [18]
Существенными здесь оказываются множества точек, эквивалентных друг другу в смысле некоторого отношения эквивалентности, связанного с системой и с видом возмущений. В случав конечного числа особых множеств возмущенная система в каком-то смысле аппроксимируется конечной цепью Маркова с вероятностями перехода, зависящими от малого параметра. Для описания предельного поведения таких цепей развивается своеобразный аппарат дискретного характера, связанный с графами. Большая часть результатов этой главы допускает формулировку на языке дифференциальных уравнений. [19]
Заметим, что если f и ft не предполагаются однозначными, то утверждение все еще остается справедливым при условии, что Sf и Sfl обозначают ( как это уже делалось в конце гл. V для теорем композиции) особые множества функций / и О, к которым прибавлены разрезы, делающие эти функции однозначными вне полученных таким образом множеств. [20]
Нетрудно убедиться в том, что такие подстановки не могут образовывать подгруппу. Тем не менее выделение таких подстановок в особое множество полезно, поскольку то, что каждая из входящих в множество подстановок переводит в 0 один и тот же элемент, свидетельствует о тесной связи между подстановками. [21]
В работах [98, 99, 221] приводится наиболее законченная схема автоматического составления описания изображений отдельных букв. В качестве признаков в ней выбираются так называемые особые множества - группы элементов изображения, соответствующие концам линий и узлам. [22]
Матрица связей дает возможность перейти к элементам более высокого уровня - фразам. Последовательность элементов матрицы связей называется цепочкой, если последнее особое множество каждого элемента совпадает с первым особым множеством последующего. [23]
Заметим, что пересечение двух компонент непусто. Оно содержит уровень f ( A) - 2 и особое множество. [24]
Заметим, однако, что выше все страты, определенные недискретными особыми множествами, дали нулевой вклад в наши спектральные последовательности. [25]
Переходим к доказательству теоремы 3.19. Обозначим через - си ( г) время движения фазовой точки от х до а вдоль ведущей из точки х в точку а отмеченной траектории. Мы докажем, что ч ( г) является функцией Беллмана с особым множеством Л1 ( см. стр. [26]
Второе соображение заключается в следующем. Как показал тщательный анализ всех существовавших применений теории множеств, во всех случаях особые множества либо не используются, либо тот же результат можно получить и без них. [27]
Матрица связей дает возможность перейти к элементам более высокого уровня - фразам. Последовательность элементов матрицы связей называется цепочкой, если последнее особое множество каждого элемента совпадает с первым особым множеством последующего. [28]
Как мы уже видели, любое двумерное орбиобразие без угловых отражателей является базой по крайней мере одного слоения Зейферта. Мы видели также, что естественный способ конструирования расслоения Зейферта над орбиобразием X заключается в следующем: нужно рассмотреть некоторое расслоение на окружности над поверхностью, а затем приклеить части, соответствующие связным компонентам особого множества орбиобразия X. [29]
Теорема Фробениуса 1.43 изначально появилась как теорема о природе решений определенных систем однородных линейных уравнений с частными производными первого порядка; см. Fro-benius [1] и обсуждение инвариантов в § 2.1. Ее превращение в теорему из дифференциальной геометрии впервые произошло в важной книге Chevalley [1] по группам Ли. В этой книге в первый раз была собрана вместе большая часть современных определений и теорем по этому предмету. Впоследствии он был еще обобщен - см. Sussmann [1], - однако осталось еще много работы, в частности, по выяснению структуры особых множеств. В этих и других работах термины распределение или дифференциальная система применяются к тому, что мы просто называем системой векторных полей. [30]