Cтраница 1
Несчетное множество, все подмножества которого измеримы, с мерой, принимающей значения 0 или в соответствии с тем является ли множество счетным или нет, не является атомом. В этом случае множество положительной меры, т.е. меры, равной, не имеет подмножеств строго меньшей положительной меры, - свойство, которое иногда используется как альтернативное определение атома. Для оконечных пространств с мерой ( определенных ниже) эти два определения эквивалентны. Пространство с мерой называется атомическим, если для каждого множества Е положительной меры найдется атом Е0 такой, что о СЕ. [1]
Каждое несчетное множество содержит по крайней мере одну точку конденсации. [2]
Рассмотрим произвольное несчетное множество X s Е R и докажем с помощью AD, что X содержит совершенное подмножество. Игра, положенная в основу доказательства этого утверждения, отличается от игры из доказательства предыдущей теоремы более жесткими ограничениями на допустимые ходы игрока II, которому, по существу, разрешается только делить пополам интервалы, выбираемые его противником. [3]
Среди несчетных множеств важнейшее значение имеют континуальные множества. Множество А называется континуальным, если А и [ О, 11 равномощны. Любые два континуальных множества, очевидно, равномощны. Примеры 10 - 17 дают много примеров континуальных множеств. Подчеркнем особо, что множество D континуально. Можно ( хотя и труднее) доказать, что множество К также континуально. Из теоремы Кантора легко следует, что любое континуальное множество несчетно. Из несчетности множества D, счетности множества R и утверждения ( 7) вытекает континуальность множества иррациональных чисел. Используя двоичные разложения, нетрудно доказать, что множество ( N) континуально. [4]
Мощность несчетного множества не меняется от удаления из него счетного множества. [5]
Количество самостоятельных несчетных множеств, объединяемых данной континуальной моделью, называется мерностью этой модели. [6]
Существует ли несчетное множество диких дуг, которые являются локально ручными везде, кроме одной из концевых точек. [7]
Привести пример несчетного множества, все точки которого изолированные. [8]
Удаление из несчетного множества конечного или счетного не меняет его мощности. [9]
Другим примером несчетного множества служит множество ( однозначных) функций, у которых как независимая, так и зависимая переменная пробегают счетное множество. [10]
Дальнейшим примером несчетного множества служит множество всех множеств натуральных чисел. Но множество всех конечных множеств натуральных чисел счетно. Мы можем выразить множество натуральных чисел посредством представляющей функции, которая принимает значение 0 для натуральных чисел, принадлежащих этому множеству, и значение 1 для остальных натуральных чисел. Эти последовательности берутся в качестве строк бесконечной матрицы. [11]
В случае бесконечного несчетного множества элементарных событий Q это определение нуждается в уточнении ( связанном с измеримостью функции Дш) относительно сг-алгебры S), которое здесь не приводится, так как выходит за рамки данной книги. [12]
Мозаики Пенроуза образуют несчетное множество - так же, как точки на прямой. [13]
Таким образом, несчетное множество М0 поставлено во взаимно однозначное соответствие с частью множества D. [14]
Могут ли эти несчетные множества быть поставлены друг с другом в 1 - 1 -соответствие и нет ли еще и других типов бесконечных множеств. Рассмотрим теперь теорию Кантора в ее общем виде. [15]