Cтраница 2
Из приведенных выше свойств резольвентного множества следует, что спектр а ( Л) любого линейного оператора А является замкнутым множеством. Если A g Sf ( Е), то его спектр а ( А) лежит в круге К: А и, следовательно, является ограниченным множеством. [16]
С другой стороны, поскольку резольвентное множество должно быть открыто, мнимая ось действительно является спектром оператора А. [17]
Это верно, так как резольвентное множество открыто, а резольвента R ( Я; Т) непрерывна, а потому Я, лежит внутри некоторого интервала, на котором некоторая индексная функция постоянна. [18]
Для самосопряженных операторов А в гильбертовом пространстве Н резольвентное множество Л ( А) содержит все невещественные Я. Резольвентное множество положительно определенных операторов содержит всю левую полуплоскость комплексной плоскости. [19]
На основе теорем 1 - 3 обсудим свойства резольвентного множества оператор-функции. [20]
Множество reg Л регулярных точек оператора А называется резольвентным множеством, его дополнение spec Л - спектром. [21]
Пусть L - замкнутый неограниченный линейный оператор с непустым резольвентным множеством, и пусть / - комплекснозначная локально голоморфная на расширенном спектре a ( L) [) U оо функция. [22]
Оператор Т называется дискретным, если в его резольвентном множестве найдется такая точка К, что резольвента R ( К; Т) ( KI - Т) 1 компактна. [23]
Множество о ( Л), дополнительное в комплексной плоскости к резольвентному множеству Р ( Л) оператора Л, называется спектром этого оператора. [24]
Таким образом, вся комплексная плоскость разбивается на четыре попарно непересекающихся множества: резольвентное множество, точечный, непрерывный и остаточный спектр. [25]
Как только имеется понятие обратимости, в ее терминах определяются связанные с ней понятия резольвентного множества и спектра. Таким образом, например, 0 принадлежит правому ( или левому) существенному спектру оператора А именно в случае, когда А не является обратимым справа ( или слева) по модулю УС; существенным спектром А является спектр множества А УС в алгебре Калкина. [26]
Отметим, что спектр оператора А содержится в полуплоскости ReX Bo - Вообще говоря, резольвентное множество может содержать в себе полуплоскость Re Я. Юо, несмотря на то, что при этом экспоненциальное представление ( 4.1. II) не имеет смысла. [27]
Подчеркнем, что, так как оператор) - самосопряженный, то все невещественные числа принадлежат его резольвентному множеству. [28]
Как и в случае ограниченных операторов, спектром о ( Т) оператора 7 называется дополнение к его резольвентному множеству. [29]
Для дальнейшего нам понадобятся определения, связанные с понятием спектра линейного оператора В, отображающего банахово пространство в себя. Резольвентное множество р ( В) оператора В - это множество точек К комплексной плоскости, для которых оператор X / - В, где / - тождественный оператор, имеет ограниченный обратный оператор с областью определения, плотной в &. Остаточный спектр состоит из тех точек А а ( В), для которых ( KI - В) - 1 существует, но его область определения 2) ( К1 - В) - ] не плотна в &. Непрерывный спектр состоит из точек Аест ( В), для которых X / - В имеет неограниченный обратный оператор с плотной областью определения. Точечный спектр состоит из тех значений А ег ( В), для которых оператор KI - В не имеет обратного. Точки Я, из Ра ( В) иногда называются также собственными значениями В, а всякий ненулевой вектор ф в, такой что ( kl - В) ф 0, называется собственным вектором. [30]