Cтраница 3
Для самосопряженных операторов А в гильбертовом пространстве Н резольвентное множество Л ( А) содержит все невещественные Я. Резольвентное множество положительно определенных операторов содержит всю левую полуплоскость комплексной плоскости. [31]
Таким образом, оператор К ( 1: Т) - резольвента. Следовательно, резольвентное множество открыто. [32]
Ах Вх у имеет единственное решение х е X для любого у У. Заключения о резольвентном множестве и об оператор-функции В - ХА также могут быть сделаны. [33]
Сначала докажем, что резольвентное множество произвольного замкнутого оператора открыто. В случае, если резольвентное множество замкнутого оператора пусто, то доказывать нечего. [34]
Можно доказать, что резольвентное множество р ( Л) в комплексной плоскости всегда открыто. Поэтому у каждого ограниченного оператора А резольвентное множество неограничено. [35]
Пусть комплексное число К лежит в дополнении борелевского множества а, а Т - спектральный оператор. Тогда число К лежит или в резольвентном множестве сужения Та оператора Т на Е ( а) Ж, или в непрерывном спектре этого сужения. [36]
Если А - регулярное значение, то и А АА при ДА ( Л - КЕ) - 1 - 1 также есть регулярное значение. Отсюда получается, что совокупность регулярных значений ( резольвентное множество) есть открытое множество, а спектр, как его допол-нение, - замкнутое множество. [37]
Пример II.I. Каждая ( коммутативная) банахова алгебра В является В - модулем. SC), где JC - комплексное банахово пространство, имеет непустое резольвентное множество. [38]
Тогда либо л является собственным значением оператора Т, либо оно принадлежит его резольвентному множеству. Это утверждение называется альтернативой Фредгольяа. [39]
Но тогда точка 1 комплексной плоскости либо является собственным значением оператора R, либо принадлежит его резольвентному множеству. В первом случае определитель D не имеет обратного, и однородная задача имеет нетривиальное решение. Во втором случае оператор ( / - R) - l существует, ограничен и определен на всем пространстве, следовательно, в силу теоремы 2.6 краевая задача (2.3) - (2.9) равномерно корректна. [40]
К оператору пх ( Ь) применима теорема 8.2, и так как участвующие в его задании сдвиги являются образующими группы Zw, спектр о ( пх ( Ь)) инвариантен относительно вращений. Действительно, в силу инвариантности спектра относительно вращений каждая граничная точка спектра является предельной одновременно для спектра и для резольвентного множества. Поэтому каждое из множеств Sj либо целиком попадает в в ( пх ( Ь)), либо целиком не попадает. [41]
Задаче 3.35. Покажите, что резольвента ограниченного оператора не может быть компактным оператором. Докажите, что если резольвента замкнутого оператора А ( с плотной областью определения) является компактным оператором в некоторой точке нэ резольвентного множества, то это свойство сохраняется во всех точках из резольвентного множества. [42]
Задаче 3.35. Покажите, что резольвента ограниченного оператора не может быть компактным оператором. Докажите, что если резольвента замкнутого оператора А ( с плотной областью определения) является компактным оператором в некоторой точке нэ резольвентного множества, то это свойство сохраняется во всех точках из резольвентного множества. [43]
Предположим, что резольвента У. Я, Л) является самосопряженным WS-оператором для некоторого Во. Обозначим через iptj полную ортонормальную систему, состоящую из собственных векторов оператора RfaA), а через [ it - соответствующие собственные значения. Как было показано выше, векторы фл будут собственными для оператора Л, а соответствующие собственные числа Ял определяются нз соотношения щ 1 / Я - Я. Тогда последовательность ( Я) состоит нз вещественных чисел. Из резольвентного уравнения следует, что для каждого Я нз резольвентного множества соответствующая резольвента будет WS-оператором. [44]
Значительное количество результатов нелинейной теории являются, по существу, линейными или почти линейными. В последние годы нами были предприняты исследования, имеющие целью модифицировать некоторые известные понятия и результаты линейного функционального анализа, для того чтобы можно было учитывать, например, рост нелинейного оператора на бесконечности или при подходе к границе его области определения. Наше внимание сосредоточено на аналитическом варианте метода. В основе предлагаемой ниже теории лежит обобщение фундаментальной теоремы Банаха о непрерывной обратимости всякого линейного ограниченного оператора, достаточно близкого к заданному линейному ограниченному непрерывно обратимому оператору. Полезными здесь оказались две числовые характеристики нелинейного оператора, отображающего одно слабо метрическое пространство в другое. Установлены теоремы о методе продолжения по параметру как глобального, так и локального характера. Выяснена тесная связь с теорией монотонных операторов, получены новые теоремы существования решений нелинейных уравнений. Непосредственным применением метода является также установление некоторых фактов соответствующей спектральной теории. Изучены свойства резольвентных множеств и получены оценки резольвент нелинейных оператор-функций. [45]