Cтраница 1
Линейное множество si называется алгеброй, если на нем определена операция умножения, линейная относительно каждого множителя в отдельности. Алгебра sf - называется ассоциативной, если всегда x ( yz) - ( xy) z алгебра s & называется коммутативной, если всегда ху ух. [1]
Линейное множество jy ( А) х 6 3) ( А), Ах 0 называется нуль-пространством или ядром оператора А. А), х - 1 называется нормой, А. Если А со, оператор Л называется ограниченным. [2]
Линейное множество S8i, состоящее из начальных значений х0 решений уравнения (3.1), ограниченных на полуоси [ 0, оо), назовем ( правым) - множеством этого уравнения. [3]
Линейные множества часто называют векторными пространствами. [4]
Линейное множество Л называется алгеброй, если на нем определена операция умножения, линейная относительно каждого сомножителя в отдельности. [5]
Конечномерное линейное множество Х0 в нормированном пространстве X замкнуто. [6]
Иногда линейное множество функций со скалярным произведением, удовлетворяющим указанным свойствам, называют функциональным гильбертовым пространством. Векторы состояний квантовых систем образуют функциональное гильбертово пространство. [7]
Это линейное множество называется графиком оператора А. Из определения вытекает, что оператор А замкнут тогда и только тогда, когда его график является замкнутым подпространством пространства Е х F. Предполагая, что 3) ( А) плотно в Е, рассмотрим в пространстве Е X F ортогональное дополнение Гд к графику ГА. Обратно, из последнего соотношения вытекает, что Л g 1 ГА - Мы получили следующее утверждение. [8]
Всякое линейное множество, снабженное нормой, называется линейным нормированным пространством. [9]
Тогда линейное множество G ( Л / - А) Е не пересекается с множеством К1 внутренних точек клина К. [10]
Рассмотрим линейное множество R всех действительных функций, заданных на всей действительной прямой. [11]
Замыкание линейного множества Х0 в пространстве X есть линейное множество. [12]
Два линейных множества X и У называются изоморфными, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее операции сложения и умножения на число. При изоморфизме линейных множеств ноль переходит в ноль. Изоморфные линейные множества могут отличаться природой самих элементов. Однако все соотношения, полученные между элементами одного линейного множества посредством операций сложения и умножения на число, будут справедливы и для любого другого линейного множества, изоморфного первому. [13]
В бесконечномерном линейном множестве Е существуют счетные линейно независимые системы элементов. В самом деле, любой элемент хг Э образует линейно независимую систему, состоящую из одного элемента. [14]
Итак, линейное множество, в котором определено скалярное произведение, становится линейным нормированным пространством, а следовательно и метрическим пространством. Поэтому в нем можно ввести все те понятия, о которых говорилось во Введении и в четвертой главе. [15]