Cтраница 4
Эта книга прежде всего учебник, с помощью которого студенты и аспиранты технических учебных заведений должны иметь возможность ознакомиться с основными принципиальными - вопросами рассматриваемых математических методов. Но авторы считают, что учебник, трактующий прикладные вопросы математического анализа, должен быть и руководством к действию. Поэтому в некоторых главах значительное внимание уделено практической стороне дела: описаны вычислительные схемы, даны советы практического характера. В книгу включены некоторые вопросы или мало затрагиваемые во втузовских курсах или излагаемые в другом плане: вопросы устойчивости, интерполирование с кратными узлами, численное решение алгебраических уравнений разложением на квадратичные множители, применение многочленов Чебышева к задачам вычислительного анализа и ряд других. [46]
Если удастся разложить многочлен Р ( х) на множители, то мы понизим степень уравнения и в той или иной мере упростим задачу его решения. Для определенности изложения рассмотрим случай, когда коэффициенты aft многочлена Р ( х) суть действительные числа. Как известно из курсов алгебры, корни такого многочлена могут быть действительными, при этом кратности их могут быть любыми; комплексные же корни должны быть попарно сопряжены, и кратности сопряженных корней обязательно одинаковы. Многочлен Р ( х) может быть представлен в виде произведения нескольких дей-ствительных множителей, линейных или квадратичных, совпадающих или различных; при этом линейные мно-жители отвечают действительным корням многочлена, квадратичные же отвечают парам сопряженных комплексных корней. Поэтому, принципиально говоря, достаточно ограничиться рассмотрением алгоритмов выделения только линейных и квадратичных множителей. [47]
Если оперировать не с континуумом комплексных чисел, а с произвольным абстрактным числовым полем, то в общем случае перестает выполняться так называемая основная теорема алгебры, согласно которой каждый многочлен от одной переменной может быть разложен на линейные множители. Если она выполняется, то соответствующее поле называется алгебарически замкнутым. Поэтому правило, которого надлежит придерживаться, работая в области алгебры, гласит: постоянно следи за тем, используется ли при доказательстве основная теорема алгебры или нет. В каждой алгебраической теории имеется более элементарная часть, которая не зависит от этого предположения и имеет силу для любого поля, и более высокая часть, для которой основная теорема алгебры необходима и которая поэтому требует алгебраической замкнутости данного поля. Основная теорема алгебры по большей части знаменует собой наиболе важный шаг; от него надлежит воздерживаться как можно дольше. Для получения теорем о произвольном поле существует часто используемый прием вложения его в некое объемлющее поле. В частности, для каждого поля можно построить содержащее его алгебраически замкнутое расширение, Хорошо известным примером может служить доказательство того, что любой многочлен над полем действительных чисел всегда допускает разложение на линейные и квадратичные множители. К этому мы приходим, присоединяя к полю действительных чисел мнимую единицу i и вкладывая его тем самым в алгебраически замкнутое поле комплексных чисел. Эта процедура имеет свой аналог в топологии, где при изучении и характеризации многообразий, например какой-нибудь поверхности, привлекают к рассмотрению накрьюающие ее поверхности. [48]