Cтраница 3
Условимся временно класс моделей называть слабо монарно кванторным, если он может быть описан на слабо монарно кванторном языке. Приведенные выше второй и третий примеры показывают, что слабо монарно кванторные классы могут содержать максимальные модели континуальной мощности, но могут и просто быть категоричными. [31]
Теория первого порядка Т называется m - категоричной, если Т имеет хотя бы одну модель мощности m и любые две ее модели мощности m изоморфны. [32]
Эта теорема содержит в себе теорему о полноте Воота [3] и доказывается аналогично последней. Пусть - совокупность аксиом, определяющих класс К, и Э1 - произвольная из аксиом, определяющих класс L. Нужно показать, что 91 истинна на всякой бесконечной / iT - модели мощности ее. [33]
Пусть а - бесконечный кардинал, и пусть X имеет, самое большее, а символов. Рассмотрим язык Ха - ю построенный из бимволов языка X. Определим число Ханфа языка Х как наименьший кардинал ( 5, такой, что каждое предложение ф языка Ха п, имеющее модель мощности ( 5, имеет также модели произвольно больших мощностей. [34]
Пусть X имеет а со символов. Предположим, что X содержит по крайней мере символы с, Х, и двуместный предикатный символ Модель языка X называется а-стандартной, если интерпретация в ЭД есть в точности естественное упорядочение ординала а. Ясно, что ш-стандартные модели являются также со-моделями. Пусть та - наименьший ординал К, такой, что каждое предложение ф языка X, имеющее а-стандартную модель мощности Э, имеет произвольно большие а-стандартные модели. [35]
Язык Jfa получается из Ьыы добавлением нового квантора Qa. Истинность формулы определяется индукцией по длине формулы. При этом формула ( Qax) ( B ( х) истинна в модели А, если мощность множества а а. Пусть Fa обозначает множество формул языка Sfa, истинных во всех моделях мощности соа. Множество F0 не аксиоматизируемо, Fx аксиоматизируемо. Однако нек-рая компактность имеет место в языках Ха. [36]
Какого сорта теоремы доказывают в теории моделей. Пожалуй, самой ранней в теории моделей была теорема Левенгейма ( Левен-гейм [1915]): если некоторое высказывание имеет бесконечную модель, то оно имеет и счетную модель. Другой классический результат - теорема компактности, принадлежащая Геделю [1930] и Мальцеву [1936]: если каждое конечное подмножество множества Е имеет модель, то и все множество S имеет модель. Будем говорить, что множество высказываний Е категорично в мощности ос, если для него существует одна и с точностью до изоморфизма только одна модель мощности а. Теорема Морли гласит, что если Е категорично в какой-нибудь одной несчетной мощности, то оно категорично в любой несчетной мощности. [37]
S ( а тем самым и для ZF); в дальнейшем этот результат был перенесен на теорию типов ( самую слабую из перечисленных систем), а затем и на NF ( для ослабл. Установленная таким образом неразрешимость столь естественно поставленных проблем лишний раз подчерк-пула зыбкость платонистских представлений об объективности описываемых ими обстояний. Одним из серьезных источников установленных фактов является парадокс Сколема, говорящий об относительности понятия мощности; этот парадокс вытекает из теоремы Левенхейма - Сколема о наличии моделей произвольной мощности у непротиворечивых систем, в силу к-рой понятие категоричности системы аксиом для сколь-либо богатых систем оказывается беспредметным. [38]