Cтраница 1
Периодический модуль является конечно определенным и имеет ранг 0, а все его элементы периодичны. Далее, в силу предложения 0.6.3 ранги модулей над областями Безу всегда неотрицательны. Это же утверждение показывает, что rk М rkAf 0 для модулей М 9 М из ( 5) и, если М - конечно порожденный модуль, то оба модуля М и М конечно определены. [1]
Любой п-порожденный периодический модуль над левой или правой областью Безу R обладает рядом длины п периодических подмодулей, факторы которого являются циклическими периодическими модулями. [2]
Если п-порожденный периодический модуль может быть порожден т элементами, где т / г, то он является также т-порожденным периодическим модулем. [3]
ТЕОРЕМА 3.4. Произвольный периодический модуль над Fl-коль-цом удовлетворяет обоим условиям обрыва цепей периодических подмодулей. [4]
Периодические подмодули периодического модуля М образуют подрешетку решетки Lai ( M) всех подмодулей этого модуля. [5]
Пусть Е - периодический модуль показателя рг ( г -), где р - некоторый простой элемент. [6]
Показать, что любой периодический подмодуль п-порожденного периодического модуля над полу - FI-кольцом является я-порожденным. Вывести отсюда, используя теорему 1.2.3, что произвольный периодический модуль нац FI-кольцом удовлетворяет условию АСС для периодических подмодулей. [7]
Показать, что Т не является периодическим модулем, но имеет единственный периодический подмодуль. [8]
Рассмотрим в качестве приложения теоремы 2.3 прямые разложения периодических модулей над коммутативным кольцом R. [9]
Предыдущее предложение дает еще одно доказательство того, что периодические модули над полу - Р1 - кольцами образуют абе-леву категорию. В случае 2д - Р1 - колец эти модули образуют усеченную абелеву категорию; она фильтруется с помощью функции, ставящей в соответствие каждому периодическому модулю его минимальное число порождающих. Минимальное число порождающих прямой суммы может быть меньше, чем сумма соответствующих чисел для прямых слагаемых; достаточно рассмотреть, например, прямую сумму Z / 2Z ( J) Z / 3Z или, более общо, R / aR R / bR, где а, Ь - комаксимальные слева элементы 2 - Р1 - кольца R. При исследовании вопроса о числе порождающих прямых сумм нам понадобятся следующие замечания. Эта матрица, конечно, не единственна, но она определяет модуль единственным с точностью до изоморфизма образом ( ср. [10]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.3. Образ, ядро и коядро произвольного гомоморфизма периодических модулей над кольцом R снова являются периодическими модулями. [11]
Проверить, какие результаты § 5.4 остаются справедливыми, если в определении л-порожденного периодического модуля под кольцом R допустить, что это кольцо является лишь n - Fl-кольцом. [12]
Показать, что расширение периодического - модуля с помощью периодического снова является периодическим модулем, если только это расширение порождается п элементами и R есть 2п - Р1 - кольцо. [13]
Теоремы 3.3 - 3.4 позволяют применять результаты, известные для абелевых категорий, к категории периодических модулей. [14]
Понятно, что это определение в случае полу - Р1 - кольца превращается в определение периодического модуля ( с д порождающими), данное в § 5.3. Представление ( 1) будем называть периодическим представлением модуля М будем предполагать всегда, когда не оговорено противное, что отображение / является каноническим вложением. [15]