Cтраница 3
Предположим теперь, что R - область главных идеалов. В этом случае любой подмодуль я-порожденного модуля может быть порожден не более чем п элементами, так что любой - модуль имеет неотрицательную характеристику; при этом % ( М) Огв том и только том случае, когда М - конечно порожденный периодический модуль. [31]
Элемент х модуля Е называется периодическим, если существует элемент а. Мы говорим, что Е - периодический модуль, если все его элементы периодические. Обобщением конечной абелевой группы служит конечно порожденный периодический модуль. [32]
Элемент х модуля Е называется периодическим, если существует элемент о. Мы говорим, что Е - периодический модуль, если все его элементы периодические. Обобщением конечной абелевой группы служит конечно порожденный периодический модуль. [33]
До сих пор мы ограничивались наиболее интересным для нас случаем конечно порожденных модулей. Определим для любого полу - Р1 - кольца категорию обобщенных периодических модулей, состоящую из тех модулей М, в которых любое конечное множество элементов лежит в конечно порожденном периодическом подмодуле. Кон [70 ]), и может быть получена как пополнение категории - R. Отметим, наконец, что функтор M - iExi ( M, R) устанавливает двойственность между категориями STj. [34]
Модуль М называется периодическим, если все его элементы являются периодическими. Модуль М над кольцом главных идеалов R называется примарным, если порядки всех элементов из М как идеалы в R порождаются степенями одного и того же простого элемента р из R. Модуль М называется прямой суммой системы ( необязательно конечной) своих подмодулей Mt, если каждый ненулевой элемент из М однозначно представляется в виде суммы конечного числа ненулевых элементов, взятых по одному из некоторых М Доказать, что любой периодический модуль М над кольцом главных идеалов R разлагается в прямую сумму примарных подмодулей. [35]
Модуль М называется периодическим, если все его элементы являются периодическими. Модуль М над кольцом главных идеалов R называется примарпым, если порядки всех элементов из М как идеалы в R порождаются степенями одного и того же простого элемента р из R. Модуль М называется прямой суммой системы ( необязательно конечной) своих подмодулей Mt, если каждый ненулевой элемент из М однозначно представляется в виде суммы конечного числа ненулевых элементов, взятых по одному из некоторых MI. Доказать, что любой периодический модуль М над кольцом главных идеалов R разлагается в прямую сумму примарных подмодулей. [36]
Левый Л - модуль М называется полным, если для каждого Х Л из / ( Х) а0, где а. Заметим, что плоский модуль никогда не имеет кручения, а инъективный модуль всегда полон. Назовем Л - модуль М периодическим, если он не отображается гомоморфно ни на какой ненулевой модуль без кручения. Устанавливается ряд свойств полных и периодических модулей. [37]