Cтраница 2
Действительно, в силу следствия предложения 2.1 можно считать, что Л4, N9 N - периодические модули. [16]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.3. Образ, ядро и коядро произвольного гомоморфизма периодических модулей над кольцом R снова являются периодическими модулями. [17]
Если п-порожденный периодический модуль может быть порожден т элементами, где т / г, то он является также т-порожденным периодическим модулем. [18]
Любой п-порожденный периодический модуль над левой или правой областью Безу R обладает рядом длины п периодических подмодулей, факторы которого являются циклическими периодическими модулями. [19]
Если Ш 0, то мы будем говорить, что модуль М является модулем без кручения, если tM M, то М называется периодическим модулем. [20]
В этом параграфе мы применим результаты § 5.1 - 5.2 для изучения одного класса модулей над FI-кольцами, который в случае областей главных идеалов совпадает с классом периодических модулей; многие свойства этих последних модулей переносятся на общий случай. Всегда, когда это возможно, мы будем доказывать наши утверждения для полу - Р1 - колец. [21]
Понятно, что значительную часть результатов § 5.3 можно обобщить на д - Р1 - кольца. Хотя категория периодических модулей над 2 / г - Р1 - кольцами не обязана быть абелевой, но мы увидим ниже, что она удовлетворяет некоторому близкому к абелевости условию. [22]
Тогда категория iTR периодических модулей над R является абелевой. [23]
Пусть Я - некоторое 2 - FI-кольцо, не являющееся правым кольцом Оре. Показать, что 1-порожденный подмодуль циклического периодического модуля не обязан быть периодическим. [24]
Элемент х модуля Е называется периодическим, если существует элемент а. Мы говорим, что Е - периодический модуль, если все его элементы периодические. Обобщением конечной абелевой группы служит конечно порожденный периодический модуль. [25]
Элемент х модуля Е называется периодическим, если существует элемент о. Мы говорим, что Е - периодический модуль, если все его элементы периодические. Обобщением конечной абелевой группы служит конечно порожденный периодический модуль. [26]
Показать, что любой периодический подмодуль п-порожденного периодического модуля над полу - FI-кольцом является я-порожденным. Вывести отсюда, используя теорему 1.2.3, что произвольный периодический модуль нац FI-кольцом удовлетворяет условию АСС для периодических подмодулей. [27]
Модуль называется полициклическим, если он имеет конечную цепь подмодулей с циклическими факторами. Существует ли полу - FI-кольцо, не являющееся ни левым, ни правым кольцом Безу, над которым любой периодический модуль будет полициклическим. [28]
Теория разложений на множители элементов 2 - Р1 - колец, из ложенная в § 3.2, основывается на интерпретации разложений цепями строго циклических модулей. Аналогично этому в насто ящем параграфе мы покажем, что разложения матриц над полу - FI-кольцами можно изучать с помощью цепей периодических модулей. [29]
Предыдущее предложение дает еще одно доказательство того, что периодические модули над полу - Р1 - кольцами образуют абе-леву категорию. В случае 2д - Р1 - колец эти модули образуют усеченную абелеву категорию; она фильтруется с помощью функции, ставящей в соответствие каждому периодическому модулю его минимальное число порождающих. Минимальное число порождающих прямой суммы может быть меньше, чем сумма соответствующих чисел для прямых слагаемых; достаточно рассмотреть, например, прямую сумму Z / 2Z ( J) Z / 3Z или, более общо, R / aR R / bR, где а, Ь - комаксимальные слева элементы 2 - Р1 - кольца R. При исследовании вопроса о числе порождающих прямых сумм нам понадобятся следующие замечания. Эта матрица, конечно, не единственна, но она определяет модуль единственным с точностью до изоморфизма образом ( ср. [30]