Cтраница 1
Левый модуль М над кольцом R называется тривиальным. [1]
Подмодулем левого модуля М над кольцом R называется подгруппа А группы М, для которой Яа л для любых K. [2]
Под левым модулем над группой G понимают абелеву группу А, для к-рой при любых Я С и а. А определено произведение Ка. [3]
А есть биективный левый модуль. [4]
Правый или левый модуль N называется простым, если он ненулевой и не имеет подмодулей, отличных от О и N. Модуль М называется полупростым, если он является прямой суммой простых модулей. [5]
В категории левых модулей над кольцом R всякий эпиморфизм является наложением. [6]
В категории левых модулей над кольцом R копроизведение совпадает с прямой суммой. [7]
Mod всех левых модулей над произвольном ассоциативным кольцом R с единицей, в частности категория абелевых групп ЯЬ, является категорией Гротендика. [8]
Фактор-модулем MI А левого модуля М над кольцом R no подмодулю А называется фактор-группа М ( А с естественным умножением на элементы кольца R: Я ( л: А) Кх А. [9]
Для антипредставлений и левых модулей понятия подобия, гомоморфизма и изоморфизма вводятся так же, как и для представлений и правых модулей. Имеют место и теоремы, аналогичные теоремам 3.1 и 3.2. В частности, рассматривая алгебру А как левый модуль над собой, мы приходим к понятию регулярного левого модуля и регулярного антипредставления. [10]
Фактор-модулем М / А левого модуля М над кольцом R no подмодулю А называется фактор-группа М / А с естественным умножением на элементы кольца R: Я ( х - - А) Ялг А. [11]
Если m - элемент простого левого модуля М, то совокупность тех х е К, для которых хт 0, является максимальным левым идеалом в К. [12]
Кольцо Л, рассматриваемое как левый модуль над самим собой, является С. Любой модуль М представим как фактормодуль F0 / H0 пек-рого С. Подмодуль Н0 в свою очередь представим как фактормодуль / V i С. [13]
Аналогичные рассуждения справедливы и для левых модулей. При этом гомоморфизмы левых модулей удобно записывать справа. В таких обозначениях левый Л - модуль превращается в. [14]
Аддитивная категория эквивалентна категории всех левых модулей над некоторым кольцом тогда и только тогда, когда в существует копроизведе-ние любого множества объектов, № содержит малый проективный образующий U, каждый морфизм категории обладает ядром, каждый морфизм категории ft представляется в виде произведения эпиморфизма и мономорфизма и всякий мономорфизм служит ядром некоторого мор-физма. [15]