Cтраница 3
Отображение u lzc переводит его в некоторый морфизм g: TV Z - С левых модулей. Тогда / r lg также является гомоморфизмом /: 7V - С модулей. [31]
ТЕОРЕМА 7.3. Пусть а - собственный двусторонний идеал в правом FI-кольце R, являющийся свободным левым модулем. [32]
Порядком О ( а) ( или аннулятором Ann ( а)) элемента а левого модуля М над кольцом R называется множество всех элементов А. [33]
Тогда группа перестановок переменных Sn действует слева на следствиях / степени п, которые тем самым образуют левый модуль над ее групповой алгеброй. Неприводимые подмодули отвечают диаграммам Юнга. [34]
В условиях 2), 3) и 4) весьма существенно требование и для правых, и для левых модулей: алгебра может удовлетворять любому из этих условий для правых ( или для левых) модулей, но не быть обобщенно однорядной. [35]
Условимся записывать гомоморфизмы правых модулей слева от элементов, на которые они действуют, и, наоборот, - гомоморфизмы левых модулей - справа. Запись произведения гомоморфизмов определим естественным образом в соответствии с предыдущим соглашением. Это приводит, в частности, к удобной записи умножения в кольце эндоморфизмов правого ( левого) модуля, благодаря которому удается во многих случаях избежать рассмотрения антиизоморфных колец. [36]
Пусть G - конечная группа, F - поле характеристики О и групповая алгебра А F [ G ] рассматривается как левый модуль над собой. [37]
БАНАХОВ МОДУЛЬ ( левый) над банаховой алгеброй А - банахово пространство X вместе с непрерывным билинейным оператором т: АХ Х - - Х, задающим на X структуру левого модуля над А в алгеб-раич. А Е, где А - это А с присоединенной единицей, Е - банахово пространство, a го ( о, u ( x) z) a6 ( 2tr, наз. [38]
Таким образом, R удовлетворяет условию ( 5) теоремы 6.2. Поскольку классически полупростое кольцо характеризуется как правыми, так и соответствующими левыми свойствами, то теорема 3 остается справедливой и для левых модулей. [39]
Аналогичные рассуждения справедливы и для левых модулей. При этом гомоморфизмы левых модулей удобно записывать справа. В таких обозначениях левый Л - модуль превращается в. [40]
Точно так же можно определить левый модуль. Нередко на V определены сразу два действия: справа алгеброй Л, а слева - алгеброй В. [41]
Приведенное выше определение полупростых алгебр использует правые модули. Можно дать аналогичное определение, используя левые модули, и на данном этапе нет оснований полагать, что классы полупростых слева и полупростых справа алгебр совпадают. Тем не менее они действительно совпадают - это будет следовать из структурной теоремы Веддер-берна. Но и не зная, что свойство полупростоты симметрично, мы с полной ясностью видим параллельность теорий правых и левых модулей: достаточно всякий раз заменять прилагательное правый на левый и менять порядок множителей в формулах. По сути дела, эквивалентность между обеими теориями можно вполне строго доказать путем перехода от Л к противоположной алгебре. По этой причине мы ограничиваемся рассмотрением алгебр, которые являются полупростыми справа в смысле приведенного выше определения. Слова справа и слева будут конкретизировать смысл термина полупростой только в ходе доказательства того, что на самом деле в них нет необходимости. [42]
Модуль над полем Р называется линейным пространством. Поскольку коммутативность поля позволяет не различать правые и левые модули, будем записывать линейные пространства как левые модули. [43]
Итак, между главными и простыми модулями устанавливается естественное взаимно однозначное соответствие. Заметим, что аналогичные результаты верны и для левых модулей. Поэтому мы получаем такой результат. [44]
Разумеется, если кольцо R коммутативно, то отображение У оказывается гомоморфизмом колец и никаких затруднений пе возникает. Том самым еще раз показано, что для коммутативного кольца разницы между правыми и левыми модулями нет. [45]