Cтраница 2
Достаточно заметить, что структура левого модуля на А ( С /, А) определяется морфизмом CUUA - Теорема доказана. [16]
Примерами абелевых категорий являются: категория всех левых модулей над произвольным ассоциативным кольцом R с единицей, категория абелевых групп, категория периодических абелевых групп, категория конечных абелевых групп, категория топологических абелевых групп. Следует отметить, что не каждая даже полная подкатегория абелевой категории является абелевой категорией. Например, полная подкатегория 3 категории абелевых групп ЯЬ, порожденная всеми циклическими группами, является предаддитивной, но не является даже аддитивной. [17]
Кольцо называется нетеровым, если оно нетерово как левый модуль над собой. Это означает, что всякий левый идеал конечно порожден. [18]
САМОИНЪЕКТИВНОЕ КОЛЬЦО левое - кольцо, инъективное как левый модуль над собой. Симметричным образом определяется п р а в о е С. [19]
Но если УлфО и Vht ф О, то левый модуль Vet содержит прямые слагаемые УЛ и Vki и, следовательно, не прост. Поэтому в каждую точку i схемы S входит не более одной стрелки. Поскольку по теореме 2.2 из каждой точки выходит не более одной стрелки, схема S, как легко видеть, может быть либо циклом, либо це-лочкой. [20]
Левая дистрибутивность кольца равносильна тому, что все его инъективные неразложимые левые модули являются цепными правыми модулями над своими кольцами эндоморфизмов. Левая дистрибутивность инвариантного справа и слева полупервичного кольца равносильна тому, что все его идеалы являются плоскими. Все левые [ правые ] идеалы дистрибутивного справа и слева полупервичного кольца, целого над своим центром, являются плоскими. [21]
Эти соотношения показывают, что каждая абелева группа является левым модулем над кольцом целых чисел Z. Поскольку Z - коммутативное кольцо, то можно говорить просто о Z-модуле. [22]
Кольцо называется вполне приводимым слева, если оно вполне приводимо как левый модуль над собой. [23]
Нетрудно проверить, что если М А - регулярный модуль, то соответствующий левый модуль над алгеброй Ел ( А) - А есть просто левый регулярный модуль. [24]
Поскольку перестановка позиций ( т.е. правое действие симметрической группы) осуществляет изоморфизм левых модулей и не меняет диаграмм Юнга, имеем следующее предложение. [25]
Кольцо R называется полупростым, если 1 Ф 0 и R полупросто как левый модуль над собой. [26]
Важную роль в теории конечномерных алгебр играет двойственность, которая существует между категориями правых и левых модулей. [27]
Предположим, что в теореме 4.24 и следствии 4.25 абе-лева группа G является левым модулем над кольцом R. [28]
Пусть задана линейная пара ( G, Г), в которой G - левый модуль над некоторым кольцом с единицей L. [29]
Изложенные соображения можно применить к случаю, когда абелева группа G обладает дополнительной структурой левого модуля над кольцом R. [30]