Cтраница 3
Сумма одночленов называется многочленом. Сложение двух или нескольких многочленов есть не что иное, как образование нового многочлена, включающего в себя все члены всех взятых многочленов. [31]
Преобразования множества элементов алгебраической системы, имеющие вид х - F ( х) xF, где F ( x) - некоторый многочлен от х, называются трансляциями системы. Так как многочлен от многочлена есть многочлен, то произведение трансляций, определяемое обычной формулой x - ST xS - T Т ( S ( х)), снова является трансляцией. Поэтому совокупность трансляций алгебраической системы образует полугруппу - полугруппу трансляций. Все обратимые трансляции составляют группу трансляций данной системы. [32]
Поэтому точки экстремума могут быть только корнями производной. Кроме того, производная многочлена есть многочлен. [33]
Сумма одночленов называется многочленом. Сложение двух или нескольких многочленов есть не что иное, как образование нового многочлена, включающего в себя все члены всех взятых многочленов. [34]
Сумма одночленов называется многочленом. Сложение двух или нескольких многочленов есть не что иное, как образование нового многочлена, включающего в себя все члены вбех взятых многочленов. [35]
Поэтому точки экстремума могут быть только корнями производной. Кроме того, производная многочлена есть многочлен. [36]
Постоянные множители при составлении общего наибольшего делителя никакой роли не играют. Таким образом, общий наибольший делитель двух многочленов есть многочлен, корни которого суть общие двум упомянутым многочленам корни с кратностью, равной наименьшей из тех двух кратностей, с которыми они входят в упомянутые многочлены. Если данные многочлены не имеют общих корней, то говорят, что они взаимно простые. Совершенно аналогично предыдущему можно определить и общий наибольший делитель нескольких многочленов. [37]
Эти специальные решения порождаются специальными однородными краевыми условиями; каждый класс ортогональных многочленов есть последовательность собственных функций для проблемы собственных значений типа Штурма - Лиувилля. [38]
Эти специальные решения порождаются специальными однородными краевыми условиями; каждый класс ортогональных многочленов есть последовательность собственных функций для проблемы собственных значений типа Штурма - Лиувилля. [39]
Для большинства функций некоторые из производных более высокого порядка растут как п Даже у производных от многочленов есть тенденция расти до п-й производной, которая равна а0п; после нее все производные становятся равными нулю. Поэтому не следует считать, что во всех случаях увеличение числа узловых точек должно приводить к повышению точности интерполяции. [40]
Рассмотрим множество, состоящее из числа нуль и всех многочленов, целых относительно одной буквы х степени не выше, чем п, с коэффициентами из данного числового поля. Легко видеть, что в этом множестве операция сложения многочленов является коммутативной и ассоциативной, число нуль - нулевой элемент множества и у любого многочлена есть противоположный элемент. [41]
Заметим, что здесь полезно использовать следующее геометрически очевидное соображение. Если две точки графика многочлена лежат по разные стороны от оси абсцисс, то где-то между этими точками график пересекает ось абсцисс, ибо график многочлена есть непрерывная линия. Иными словами, если на концах некоторого интервала для неизвестной переменной многочлен принимает значения противоположных знаков, то где-то внутри интервала его значение равно нулю. [42]
Если развернуть определитель, стоящий в левой части характеристического уравнения, то получится алгебраический ( степенной) многочлен относительно К. Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы линейного преобразования. В случае линейных преобразований на плоскости характеристический многочлен есть многочлен второй степени, для линейных преобразований в пространстве - третьей степени. [43]
Как следствие получаем, что такие суммы не зависят от того, в каком порядке берутся корни уравнения, хотя сами числа у зависят от порядка. Теорема о том, что эти суммы инвариантны относительно действия симметрической группы, есть более или менее часть теоремы о симметрических функциях в некоммутативном случае. У этой теоремы есть и вторая более сложная часть: любой симметрический многочлен есть многочлен от этих элементарных симметрических функций. Некий вариант этой теоремы верен и в некоммутативном случае. Можно явно охарактеризовать те симметрические функции, который являются полиномами от коэффициентов соответствующего уравнения. Это будут не все симметрические функции, но они образуют подкольцо, которое как линейное пространство изоморфно кольцу обычных коммутативных симметрических функций. А как устроены все симметрические функции, не известно. [44]
Многочлен считается приведенным к стандартному виду, если он представляет собой сумму стандартного вида одночленов. Иногда еще требуется расположение этих одночленов по убывающим степеням одной из переменных. Последнее требование, не являясь обязательным, имеет особый смысл в случае, когда многочлен есть выражение с одной переменной. [45]