Cтраница 4
Таким образом, теорема Вейерштрасса эквивалентна указанной алгебраической теореме. Вообще все свойства всякой непрерывной функции аналитически содержатся в свойствах множества многочленов, которые равномерно сходятся к этой функции. Достаточно любого частного множества многочленов, бесконечно приближающихся к данной функции, чтобы определить эту функцию; но среди всех таких множеств многочленов есть одно особенно важное - это множество наименее уклоняющихся от данной функции многочленов Чебышева, которые быстрее всего сходятся к рассматриваемой функции. Так, например, распределение нулей этих приближающих многочленов имеет очень интересную связь с природой самой функции. Чтобы не возвращаться к этому еще мало изученному вопросу, я представляю здесь вниманию молодых исследователей один из недавно полученных мною результатов: какова бы ни была функция, корни соответствующих приближающих многочленов можно по желанию приближать или удалять от рассматриваемого отрезка, но между модулями и аргументами существуют инвариантные соотношения, характеризующие это распределение корней. [46]
Проводя опыты при эмпирическом подходе, мы не знаем, в каком виде следует получать функцию отклика. Если у зависит только от одного х, а вид зависимости достаточно прост, то можно судить об этом виде на глаз, по графику. Если аргументов несколько или если график сложен, то этот путь закрыт. Этот многочлен есть приближенное выражение неизвестной функции F ( ff, X); качество приближения определяется величиной остатка ряда - той его части, которую мы отбрасываем. Тогда дальнейшее уточнение функции теряет смысл: мы не можем выявить, действительно ли следующие члены отражают уточненную функцию или они связаны лишь со случайными ошибками опыта. [47]