Cтраница 2
Из диаграммы () следует, что в нормальной категории № для любых двух нормальных мономорфизмов ц -: Ki - - A, i I, 2, с общим концом существует универсальный квадрат. F, х [ ц2р 2Ц ] - идеал объекта А, являющийся пересечением ( V, и и2 ] - ( Яр Нч ] Л ( К2, И2 ] идеалов ( / С, ц ] и ( / С2, ц2 ] объекта А в частично упорядоченном классе / ( Л) идеалов объекта А. Двойственно, для любых двух нормальных эпиморфизмов v (: A-BI, tl, 2, с общим началом существует коуниверсальный квадрат. При этом KervjVg-идеал объекта А, являющийся объединением KervV2 ( JC. [16]
Предложение 4.8. Произведение JU S двух нормальных мономорфизмов, один из которых является изоморфизмом, является нормальным мономорфизмом. [17]
Ниже будет построен пример, показывающий, что произведение двух нормальных мономорфизмов в общем случае не является нормальным мономорфизмом. [18]
Отсюда и из предложения 4.10 вытекает, что в категории групп 01 произведение нормальных мономорфизмов в общем случае не является нормальным мономорфизмом. [19]
Лемма 4.7. Если нормальный мономорфизм f представлен в виде произведения М л6 и 5 является ионоиорфизмо:, то Х является нормальным мономорфизмом. [20]
Но в таком случае, как легко проверить, сГ ( yfci) [ Ч Тем самым показано, что № - нормальный мономорфизм. [21]
Легко убедиться, что каждый изоморфизм и каждый нулевой мономорфизм 00 д: О - А, если таковой существует, являются нормальными мономорфизмами. [22]
Да ] ( 0 ] имеет место тогда и только тогда, когда i zv ( а значит, и niV2) - нормальный мономорфизм, а равенство ( млШ г ] ( 1А ] справедливо в том и только том случае, если [ i2vi ( a значит, и ( i V2) - нормальный эпиморфизм. Отсюда и из диаграммы () выводится вторая теорема об изоморфизме: если ( Ki, it ] и ( К. Два идеала объекта Л, ( V, ц ] Ы Л Ы - пересечение и ( / С, ц ] ( щ ] 1) ( Д2 ] - объединение идеалов ( ц ] и ( ц2 ], ц: V - / С2 и Д: / С, - - К - такие нормальные мономорфизмы, что соответственно ц ( 1 ц2 и ц, Дц, то объекты Coker ц L, и Coker L изоморфны. [23]
Доказать, что для полярных мономорфизмов справедливы утверждения, аналогичные утверждениям 4.6 - 4.8; доказать, что в категории с нулевыми морфизмами каждый нормальный мономорфизм является полярным мономорфизмом. [24]
Из теорем 3.1 и 2.17 и 2: 24 вытекает, что функтор вложения I & я: Д - d § переводит мономорфизмы в мономорфизмы, нормальные мономорфизмы в нормальные мономорфизмы и перестановочен с обратными пределами. [25]
Из теорем 3.1 и 2.17 и 2: 24 вытекает, что функтор вложения I & я: Д - d § переводит мономорфизмы в мономорфизмы, нормальные мономорфизмы в нормальные мономорфизмы и перестановочен с обратными пределами. [26]
Следствие 8.12. В, диаграмме ( 27) J ftj, является соответственно нормальным мономорфизмом, нормальным зпиморфиз мом, изоморфизмом тогда и только тогда, когда - Q является соответственно нормальным мономорфизмом, нормальным эпиморфизмом, изоморфизмом. [27]
Предложение 8.11. 1) Пересечение идеалов [ К и [ Kj, Юесть нулевой идеал объекта А тогда и только тогда, когда в диаграмме ( 27) по крайней мере один из мор-физмов [ и 9 t и [ tt 9 является нормальным мономорфизмом. [28]
Хилтон и Ледерман [38] на рассматриваемые категории накладывают следующие двойственные себе ограничения: А) существуют нулевые отображения; Б) каждое отображение обладает образом ( в общем случае не являющимся нормальным); В) каждое отображение обладает ядром и коядром; Г) каждое произведение fj - б, где ( 1 - нормальный мономорфизм, а 6 - нормальный эпиморфизм, можно представить в виде jj - 6 6 [ j /, где 6 - нормальный эпиморфизм, а j / - нормальный мономорфизм. При этих предположениях каждый нормальный подобъект является идеалом объекта а, и авторы показывают, что и в этом случае частично упорядоченный класс / ( а) всех идеалов любого объекта а образует обобщенную структуру. Основным результатом Хилтона и Ледер-мана является перенесение на рассматриваемые категории теоремы Жор дана - - Гельдера. Именно, доказывается следующее утверждение. [29]
Хилтон и Ледерман [38] на рассматриваемые категории накладывают следующие двойственные себе ограничения: А) существуют нулевые отображения; Б) каждое отображение обладает образом ( в общем случае не являющимся нормальным); В) каждое отображение обладает ядром и коядром; Г) каждое произведение fj - б, где ( 1 - нормальный мономорфизм, а 6 - нормальный эпиморфизм, можно представить в виде jj - 6 6 [ j /, где 6 - нормальный эпиморфизм, а j / - нормальный мономорфизм. При этих предположениях каждый нормальный подобъект является идеалом объекта а, и авторы показывают, что и в этом случае частично упорядоченный класс / ( а) всех идеалов любого объекта а образует обобщенную структуру. Основным результатом Хилтона и Ледер-мана является перенесение на рассматриваемые категории теоремы Жор дана - - Гельдера. Именно, доказывается следующее утверждение. [30]