Cтраница 2
ВЛОЖЕНИЕ КАТЕГОРИЙ - ковариантный функтор F из категории С в категорию С, инъективный на классе морфизмов категории С. [16]
Для всякого морфизма категории F я: б-г) и всякой пары объектов ( i, v существует единственный морфизм категории F i0v - ( ii v, являющийся ( JJL, v) - распространением к. Распространение к преобразует 6 в г), а ы и v остаются неизменными в ходе вывода. [17]
Аддитивная категория эквивалентна категории всех левых модулей над некоторым кольцом тогда и только тогда, когда в существует копроизведе-ние любого множества объектов, № содержит малый проективный образующий U, каждый морфизм категории обладает ядром, каждый морфизм категории ft представляется в виде произведения эпиморфизма и мономорфизма и всякий мономорфизм служит ядром некоторого мор-физма. [18]
Если граф хороший, т.е. в нем отсутствуют зацепленные циклы - циклы с общей вершиной, то набор проходимых стрелок однозначно определяет порядок прохождения, и не имеет особого значения, коммутируют ли морфизмы категории. [19]
Аддитивная категория эквивалентна категории всех левых модулей над некоторым кольцом тогда и только тогда, когда в существует копроизведе-ние любого множества объектов, № содержит малый проективный образующий U, каждый морфизм категории обладает ядром, каждый морфизм категории ft представляется в виде произведения эпиморфизма и мономорфизма и всякий мономорфизм служит ядром некоторого мор-физма. [20]
Морфизм ср категории называется константным [ коконстант-ным ], если аср РФ [ ера ФР ] для любой пары параллельных морфизмов а, р, для которых произведения аф, РФ [ фа, ФР ] определены. [21]
Коммакатегория ( Л ( Л) Id) обозначается Л / R и называется категорией морфизиов категории it с общим началом А. Sl / Л и называется категорией морфизмов категории Ж с общим концом А. [22]
Универсальным каскадным соединением является сплетение моделей, определяемое через универсальный объект в категории К. Из определений следует, что каждому морфизму категории К отвечает гомоморфизм соответствующих каскадных соединений - гомоморфизм, меняющий только символы отношений. В этом смысле каждое каскадное соединение моделей допускает естественное вложение в сплетение этих же моделей. [23]
S, а умножение морфпзмов совпадает с умножением, определенным в S. Обратно, всякая категория с одним объектом однозначно определяет моноид, состоящий из морфизмов категории. [24]
В § 8 мы вводим гомотопические категории для sl и У и получаем сопряженные функторы между ними. Квиллен в [ И ] строит гомотопическую категорию Но, объектами которой являются объекты из, а морфизмы получены из морфизмов категории в7 путем формального обращения слабых эквива-лентностей. [25]
По теореме 1, § 11.3 моноидальная категория М сильно эквивалентна строго моноидальной категории S. Заузли-вание 7 в М при этой эквивалентности непосредственно переходит в заузливание в 5, так что эквивалентность М - S является сильным морфизмом категорий с заузливанием. [26]
Определим теперь категорию САР. Каждому измеримому пространству ( П, S) мы сопоставим совокупность Сар ( П, S) всех распределений вероятностей на ( П, S) - один из объектов категории САР. Морфизмы категории САР - преобразования одного объекта в другой будут определяться по формуле ( 1) всевозможными переходными вероятностями. [27]
Каждый морфизм ом, А е еОЬ, является константным. Все терминальные объекты категории между собой изоморфны. Терминальный объект Т называется строго терминальным, если каждый морфизм категории & с началом Т является изоморфизмом. [28]
F: 4LX & морфизм: Colimp ( Lima F ( a, P)) - - Lima ( Colimp F ( a, p)) является изоморфизмом. Категория 6 называется - фильтрованной для некоторого регулярного кардинала т, если: 1) для любого множества объектов Л; , / е /, мощности / m в категории 6 существует такой объект В, что Я5 ( Л (, В) - 0 для каждого г е /; 2) всякая пара параллельных морфизмов категории 6 обладает ко-уравнителем. [29]
Они описываются тройкой С ( 7, т, е), где С - объект категории Р, т: С С С, е: Z - С - морфизмы, подчиняющиеся тождествам ассоциативности и тождеству, выражающему то, что е является единицей относительно этого умножения. Для конкретных объектов моноид - это объект рассматриваемой категории с ассоциативным умножением, дистрибутивным относительно операций, заданных на С и единицей. В последнем случае в качестве морфизмов категории SLo берутся отображения, сохраняющие все ( в том числе бесконечные) объединения. [30]