Cтраница 4
Пусть мощность множества А меньше или равна мощности множества В, а мощность В в свою очередь меньше или равна мощности множества С. [46]
Card / 4 Card ф ( Л)); 2) мощность множества всех конечных подмножеств бесконечного множества А равна мощности множества А. [47]
В этом случае было бы, что 2 содержит все алефы как подмножества, а потому на основании сказанного о W ( мощности множества W, существование W Бернштейн допускал. Очевидно, что тогда даже было бы cZ ( Z - множество всех подмножеств у W, a Z - его мощность. [48]
Сама эта теорема представляет собой важное теоретико-множественное утверждение, так как она, с одной стороны, является обобщением теоремы Кантора о мощности множества подмножеств заданного множества, а с другой - эквивалентом аксиомы выбора - Первое было осознано уже Кенигом [1], а ее эквивалентность аксиоме выбора установили в 1963 г. Рабины [ 1, с. Кас-сине и Гюйемо [ 1, с. Кенига [1] да заметили, что Цермело в [4] доказал эквивалентность формулировки Кенига с аксиомой выбора в общем случае. Как будет видно далее, последнее замечание не вполне корректно. [49]
Заметим, что мы уже долго говорим о сравнении мощностей, но воздерживаемся от упоминания мощности множества как самостоятельного объекта, а только сравниваем мощности разных множеств. [50]