Cтраница 3
В следующих главах будут обсуждаться и многие другие проблемы, обусловленные использованием ЭВМ при расчетах. Почти во всех случаях эти проблемы будут связаны с антипереполнением и накоплением ошибки округления. [31]
Высокая экономичность метода обусловлена учетом специфической особенности системы разностных уравнений, заключающейся в том, что матрица из коэффициентов этих уравнений содержит много нулевых элементов. Другим важным-достоинством метода прогонки является то, что в процессе вычислений не происходит существенного накопления ошибок округления. [32]
Заметим, что при использовании данного подхода следует принимать во внимание следующее соображение. После фильтрации членов в решении, соответствующих большим собственным значениям, и увеличения шага интегрирования из-за накопления ошибок округления или других случайных причин в решении вновь могут появиться составляющие с большими производными. При этом наблюдаются нарастающие колебания решения. Подобное положение приводит к автоматическому уменьшению шага интегрирования и повторному исключению членов, соответствующих большим собственным значениям. При этом снижается и быстродействие метода. Однако основное его преимущество, заключающееся в сохранении реальной модели при обеспечении фильтрации членов с большими производными, что особенно важно при расчете нелинейных цепей, сохраняется. Дело в том, что при расчете нелинейных цепей появление таких членов в решении, которые соответствуют большим собственным значениям, возможно на любом отрезке времени. Поэтому использование любых методов снижения порядка дифференциальных уравнений ( см. § 6.4) нелинейных цепей сопряжено с опасностью потери адекватности решения получаемых упрощенных моделей реальным процессам. [33]
Если А не симметрична, то предварительной симметризации по формуле ( 1) - умножением слева на А - нельзя избежать. Однако последний всегда надежен и всегда окажется предпочтительным, если заданная матрица очень косоугольна или если порядок ее столь высок, что дополнительное количество десятичных знаков все же не может компенсировать накопление ошибок округления. [34]
Если А не симметрична, то предварительной симметризации по формуле ( 1) - умножением слева на А - нельзя избежать. Однако последний всегда надежен и всегда окажется предпочтительным, если заданная матрица очень косоугольна или если порядок ее столь высок, что дополнительное количество десятичных знаков все же не может компенсировать накопление ошибок округления. [35]
Заметим, что для ферм с большим числом узлов построение диаграммы - трудоемкий процесс. Это связано с недостатком метода вырезания узлов, графической интерпретацией которого является диаграмма Максвелла-Кремоны. Недостаток вызван неизбежным накоплением ошибок округления в процессе последовательного расчета узлов. [36]
Эванс ( 1971) для уравнения (4.5) предложил другой, очень похожий алгоритм. Однако на последнем шаге процесса исключения неизвестных и вычисляется по ж и ик. Поэтому в отношении накопления ошибок округления метод Эванса не имеет таких преимуществ, как метод Танга. [37]
Расхождения между этими двумя значениями матрицы А вызваны ошибками округления. Уже этот простой пример матрицы третьего порядка показывает, как быстро накапливаются ошибки округления. При матрицах более высокого порядка это накопление ошибок округления может оказаться весьма серьезным. [38]
Следующее исключение приведет к системе пяти уравнений с пятью неизвестными, которая может быть решена непосредственно. Метод подразделения на блоки имеет еще то преимущество, что накопление ошибок округления значительно замедлится, если каждое отдельное обращение выполнять с большой точностью, применяя проверку и последующую корректировку ( ср. [39]
Важной проблемой при численном интегрировании уравнений состояния является выбор шага дискретизации. Выбор большого шага нарушает адекватность разностных уравнений решаемым дифференциальным уравнениям, что приводит к бессмысленному результату. Если же шаг выбран слишком малым, то расчет потребует больших временных затрат, а накопление ошибок округления может привести к существенному искажению результата. Поэтому программные реализации численных методов интегрирования должны включать процедуру выбора шага, автоматически учитывающую особенности каждого решаемого уравнения состояния. Причем для создания эффективных и надежных программ численного интегрирования требуются такие процедуры, которые при минимальных вычислительных затратах обеспечивают выбор шага дискретизации, близкого к оптимальному. Применительно к реализации классических методов интегрирования подобным требованиям удовлетворяют алгоритмы выбора шага, основанные на правиле Рунге, позволяющем оценить погрешность численного решения дифференциального уравнения. [40]
Второй новой идеей является развитие приема, которым мы пользовались для вывода формул. Другими словами, мы стремились сделать порядок остаточного члена возможно более высоким. Как оказывается, чтобы справиться с неустойчивостью и другими эффектами, такими как, например, накопление ошибок округления, необходимо оставить некоторые коэффициенты общей формулы неопределенными до нахождения остаточного члена и лишь тогда выбрать для них значения, которые окончательно и дадут нужную формулу. [41]
Важной проблемой при численном интегрировании уравнений состояния является выбор шага дискретизации. Выбор большого шага нарушает адекватность разностных уравнений решаемым дифференциальным уравнениям, что приводит к бессмысленному результату. Если же шаг выбран слишком малым, то расчет ведется с большими затратами машинного времени, а накопление ошибок округления приводит к существенному искажению решения. Поэтому программные реализации численных методов интегрирования должны включать процедуру выбора шага, автоматически учитывающую особенности каждого решаемого уравнения состояния. Причем для создания эффективных и надежных программ численного интегрирования требуются такие процедуры, которые при минимальных вычислительных затратах обеспечивают выбор шага дискретизации, близкого к оптимальному. Применительно к реализации классических методов интегрирования подобным требованиям отвечают алгоритмы выбора шага, основанные на правиле Рунге, позволяющем оценить погрешность численного решения дифференциальных уравнений. [42]
В методах второй группы по каждому из компонентов исходной смеси записывается система уравнений и решение осуществляется матричными методами. Поскольку начальное приближение выбирается произвольно, то после выполнения очередной операции производится коррекция искомых переменных. Методы второй группы находят все более широкое применение, так как при этом проявляется меньшая склонность к накоплению ошибок округления и соответственно большая устойчивость вычислительных схем при расчете колонн с несколькими вводами питания и боковыми отборами. К тому же при расчете комплекса колонн снимается проблема задания топологии системы, так как все связи между колоннами отражены соответствующими коэффициентами в матрице системы уравнений баланса. [43]
Прежде чем приступить к вычислению интеграла по квадратурной формуле, следует составить представление о характере изменения функции, как говорят, о ее ходе, построив ее график или составив таблицу ее разностей. Бывает целесообразно, учитывая ход функции, основной промежуток интегрирования разбить на несколько участков и на каждом участке интегрировать с разным шагом. Надо также помнить, что увеличение точек дробления интервала [ а, Ь ] влечет увеличение труда вычислителя и накопление ошибок округления. [44]
В этом разделе будет рассмотрена модификация МГД-системы в форме законов сохранения, которая позволяет проводить расчеты с высоким разрешением разрывов в присутствии сильного фонового магнитного поля. Это очень важно, когда решаются астрофизические задачи. Потенциальное магнитное поле белого карлика или нейтронной звезды столь велико, что это может привести к определенным трудностям в численном моделировании из-за накопления ошибок округления при операциях с большими числами. Ниже будет показано, что схема типа Роу требует лишь небольшой модификации, чтобы стать применимой для модифицированной системы МГД-уравнений, которая выводится ниже. [45]