Cтраница 3
Таким образом, многообразие М конечнолистпо накрывается расслоением на окружности над некоторой поверхностью. Выбирая дополнительно самое большее два двулистных накрытия, мы можем получить расслоение М на окружности над поверхностью X, где М и X ориентируемы. Такое расслоение тривиально тогда и только тогда, когда его эйлерова характеристика равна нулю. [31]
Пусть D есть n - мерный диск, лежащий в Ма. Подняв при необходимости действие в ориентирующее двулистное накрытие с помощью 1.9.4, можно считать М ориентируемым. [32]
Точками этого пространства являются ориентируемые Л - мерные плоскости в RN. Ясно, что это отображение является двулистным накрытием. [33]
Применяя теорему Грппа, следует считать, что М ориентируемо. Если М не ориентируемо, то нужно рассмотреть его ориентируемое двулистное накрытие. [34]
Поскольку Ci y 3 Ф - У с2 у 3 на L, функция Y ( ( 3 / 4) ( Ф - Y)) 1 / 3 гладкая на L. Следовательно, функция у / р о KL гладкая на двулистном накрытии L области U и принимает на одном листе положительные, а на другом отрицательные значения. [35]
Если F 5 / - скрученное / - расслоение над F, то существуют двулистное накрытие L поверхности F и проекция L X / - - xF x /, которая также является двулистным накрывающим отображением. [36]
В квантовой механике эти представления описывают частицу с полуцелым спином. В предыдущей лекции было построено гладкое отображение SU ( 2) - SO ( 3), которое оказалось двулистным накрытием. Поэтому в унитарной группе функции угла могут быть и 4тг - периодическими. Целым j отвечают представления той и другой групп. [37]
При разрешении особенностей, точно так же, как и в случае В, возникает эллиптическая кривая, стягивающаяся в особую точку. Таким образом, разрешение особенностей имеет вид /: X - X, где X - неминимальная модель эллиптической поверхности Р1 х С, / является изоморфизмом вне двух непересекающихся эллиптических кривых С и С С X С он стягивает в точку, а С1 отображает на прямую как двулистное накрытие с 4 точками ветвления. [38]
Если X есть инфинитезимальная изометрия, то V j кососимметрично по i и / ( см. предложение 2.2) и его след есть нуль. Теперь докажем обращение, считая, что М ориентируемо. Если М не ориентируемо, то рассмотрим его ориентируемое двулистное накрытие. [39]
Согласно предыдущей лемме, каждый кольцевой конец поверхности М конформно представляет собой диск D; следовательно, М имеет конечный конформный тип. Мы хотим убедиться в том, что если М вложенная, то она обладает конечной полной кривизной, так что ( переходят двулистному накрытию) можем считать, что М ориентируема. Тогда отображение Гаусса g: М - S2 определено и конформно; два поднятия точки поверхности М в R3 отличаются друг от друга на сдвиг, который оставляет инвариантным поле ориентированных единичных нормальных векторов к накрытию. [40]
Напомним, что любая дискретная группа изометрий многообразия Е2 является конечным расширением своей подгруппы сдвигов, которая может быть изоморфна 1, Z или ZXZ. В первых двух случаях имеет место случай ( с) теоремы. В третьем случае, как легко показать, некоторый нетривиальный циклический нормальный делитель L в группе п ( Х2) должен быть бесконечным. Беря, если нужно, два двулистных накрытия орбиобразия Х2, мы можем считать подгруппу К. Далее, факторгруппа n ( N2) / L изоморфна группе n ( X2) / L и, значит, представляет собой конечное расширение группы Z. Беря, если необходимо, еще одно конечнократное накрытие орбиобразия Х2, мы можем полагать группу n ( N2) / L циклической. [41]
Таким образом, мы построили на X пучок / с базой Р1, имеющий 4 вырожденных слоя типа О и не имеющий других вырожденных слоев. Из анализа типов вырожденных слоев ( [ 1, стр. SG) соответствует потенциально хорошей редукции. Точнее, если тг: С - Р1 - любое двулистное накрытие, разветвленное в точке ж, над которой лежит этот слой, то нормализация поверхности X Xpi С имеет над точкой я-1 ( х) невырожденный слой. [42]
Сепаратрисные диаграммы высекают нетривиальные циклы на неособых торах Лиувилля. И зоэнергетические поверхности задаются одномерными графами, вершины которых разбиваются на пять канонических типов, - 1.6. Любая поверхность постоянной энергии интегрируемой системы представляется в виде склейки простейших трехмерных многообразий трех типов. Двулистные накрытия над изоэиергетическими интегрируемыми поверхностями всегда обладают ориентированным интегралом. [43]
Пусть ( J - номер точки первого пересечения v с w2, будем считать р положительным, если v впервые пересекает w2 сверху. Оказывается, что р нечетно, и число компонент равно 1, если а нечетно, и 2 в противном случае. Легко показать, что группы 2-мостовых узлов допускают представления с одним определяющим соотношением. Если отбросить ориентацию, то есть рассмотреть только множества точек, заданных кривыми, то второе условие ослабляется: p 1 p / moda. Эти условия являются также необходимыми и достаточными для изоморфности групп узлов. Классификация таких узлов ( Шуберт [173]) была осуществлена при помощи весьма сложных топологических рассуждений; имеется красивое геометрическое доказательство Зайферта несколько более слабого утверждения, использующее разветвленные двулистные накрытия. [44]