Cтраница 2
Одна из трудностей решения уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса связана с сингулярностью - наличием малого параметра при старших производных. Созданная Прандтлем [1] теория пограничного слоя позволила в значительной мере преодолеть эту трудность. [16]
При 7 / 0 решение системы (5.4) может быть найдено путем численных расчетов, вариационным способом, либо ( при наличии малого параметра) - по теории возмущений. [17]
Последнее позволяет ( по крайней мере в принципе) построить для области средних заполнений столь же строгую теорию, как и в случае т тр, поскольку при наличии малого параметра всегда можно оценить точность полученных выражений в рамках самой теории, не прибегая к сопоставлению с экспериментом или с численными расчетами на ЭВМ. [18]
Ляпунов указал весьма эффективный ( особенно при наличии малых параметров) способ построения матрицы А ( со) с помощью бесконечных сходящихся рядов. Известны н нек-рые другие случаи, когда удается найти ( хотя бы приближенно) характеристичные числа, пли, что в случа-е правильной системы только и нужно для решения задачи об устойчивости, определить их знаки. [19]
Хотя парадоксы играют ключевую роль, по-видимому, в любой области знания, складывается впечатление, что в гидродинамике и конкретно в механике вязкой жидкости их число особенно велико. Причины тому - сильно нелинейный характер уравнений и наличие малого параметра при старших производных. С этим связан, и можно сказать, самый главный неразрешенный парадокс вязкой гидродинамики - проблема турбулентности. Имея достаточно почтенный возраст и мощный глубоко разработанный аппарат, теоретическая гидромеханика пока адекватно описывает) весьма ограниченный как по числу, так и по значению круг течений жидкости. И в природе, и в технике преобладает турбулентное движение сплошной среды, а теория, опирающаяся на первые принципы, охватывает лишь часть ламинарных течений. [20]
С точки зрения оценки переходного процесса но вырожденному уравнению желательно, чтобы корни, порождаемые малыми параметрами, были расположены значительно дальше влево от мнимой оси, чем наиболее удаленный влево корень вырожденного уравнения. Тогда, при прочих равных условиях, составляющие переходного процесса вызванные наличием малых параметров, окажут несущественное влияние на характер общей кривой процесса регулирования. [21]
Заметим только, что исследование непрерывного спектра и связь спектра с устойчивостью носит общий характер ( см. [11-13]), расположение же дискретного спектра не поддается общим исследованиям. Приходится существенно использовать специфику тех или иных конкретных моделей, в частности наличие малого параметра. [22]
В настоящей работе развит алгоритм получения асимптотического разложения решения двухточечной задачи, возникающей в теории адиабатического реактора. Обычно применение асимптотических методов в теории реакторов 6, 7 ] определялось наличием малого параметра при старшей производной в уравнениях переноса. Характерная особенность алгоритма получения асимптотического разложения решения, развиваемого в настоящей работе, заключается в использовании большого параметра, фигурирующего в экспоненте аррениусовской скорости химической реакции. На основе полученных решений проводится асимптотический анализ явлений переноса в адиабатическом реакторе. [23]
При отыскании решения воспользуемся методом Энскога - Чепмена. Возможность осуществления итерационной процедуры в данном случае обусловлена, как и при решении уравнения Больцмана, наличием малого параметра а, представляющего собой отношение двух характерных масштабов длины и, соответственно, времени. [24]
Таким образом, наиболее эффективными являются процессы с излучением или поглощением одного фотона, если они разрешены энергетически и правилами отбора. Вероятности процессов, сопровождаемых излучением нескольких фотонов, малы по сравнению с вероятностями однофо-тонных процессов: эта малость определяется наличием малого параметра теории возмущений. Указанные обстоятельства позволяют существенно упростить решения задач. [25]
Это исследование основано на том, что толщина зоны химических реакций много меньше интегрального масштаба турбулентности. Наличие малого параметра существенно упрощает исследование, позволяя отдельно рассмотреть крупномасштабные колебания зоны реакции как целого и воздействие мелкомасштабной части спектра турбулентности на ее внутреннюю структуру. [26]
В предыдущей главе была изучена задача об устойчивости сложной системы обыкновенных дифференциальных уравнений при различных предположениях о подсистемах соответствующих невозмущенных систем. Методы первой главы могут быть распространены на системы, содержащие малый параметр. Специфика этих систем ( наличие малого параметра) позволяет произвести эффективное исследование соответствующих систем сравнения с помощью хорошо развитых методов нелинейной механики. [27]
Наиболее широко применяют одно-шаговые методы типа Рунге - Кутта, а также многошаговые явные и неявные разностные схемы. Последние особое распространение получили при решении так называемых жестких или сингулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений, характеризуемых наличием малого параметра при старшей производной. Очевидно, на практике следует использовать такие численные схемы, которые обеспечивали бы требуемую точность решения задачи, гарантировали бы численную устойчивость счета при достаточно крупных шагах интегрирования, позволяли бы легко реализовать автоматический выбор шага дискретизации. [28]
Внешнее электромагнитное поле индуцирует в системе мультипольные моменты. Рассмотрим здесь эти наведенные моменты в линейном по внешнему полю приближении. Пусть электромагнитное поле существенно изменяется на расстояниях А, заметно превышающих размер системы а. Наличие малого параметра а / А, позволяет представить каждый индуцированный момент в виде суммы членов, содержащих пространственные производные различных степеней от амплитуд электрического и магнитного полей. Такое разложение, разумеется, тесно связано с мульти-польным. [29]
Отличительной чертой плазменной турбулентности является то, что в плазме имеются собственные частоты. Это не позволяет строить теорию на основании одних только соображений размерности, но зато дает возможность про -, двинуться дальше в расчете нелинейных взаимодействий и развить тем самым более полную математическую теорию. Нелишне напомнить, что в математической теории турбулентности несжимаемой жидкости так и не удалось продвинуться сколько-нибудь далеко. В принципе математическое упрощение теории плазменной турбулентности связано со следующей особенностью. У вихря в несжимаемой жидкости у ж со - он совершит мало оборотов, прежде чем затухнет или передаст энергию другим вихрям. Наличие малого параметра у / со и дает возможность построить математическую теорию плазменной турбулентности. [30]