Cтраница 2
В этом разделе мы рассмотрим накрывающие для кривых без самопересечений, которые имеют асимптотические направления. [16]
Предположим, что обе полукривые ( положительный и отрицательный криволинейные лучи) кривой 7 имеют асимптотические направления. Если обе компоненты множества R2 - 7 имеют бесконечную площадь, то 7 обладает свойством ограниченности отклонения. [17]
Минимальной поверхностью называется поверхность, у которой средняя кривизна равна нулю в каждой точке; ее асимптотические направления во всех точках будут взаимно ортогональными, и обратно; отсюда следует, что сопряженные направления будут симметричны относительно каждого из асимптотических направлений. [18]
Мы видим вместе с тем, что асимптотические направления, параллельные плоскости сечения, суть и асимптотические направления самого сечения. [19]
Здесь рп меняет знак, индикатриса слагается из двух сопряженных гипербол, имеющих в качестве асимптот асимптотические направлений поверхности 5 в точке т; на одной из этих гипербол рп положительно, на другой отрицательно. [20]
Прямая ОС ( за исключением точек О и С), являющаяся диагональю параллелограмма АОВС, стороны которого имеют данные асимптотические направления. [21]
Доказательство теоремы основано на тонком результате, доказанном в работе [17]: все поднятия полутраектории № на плоскости Лобачевского имеют различные асимптотические направления. Поэтому для любого поднятия L соответствующей геодезической L ( l) найдется счетное семейство конгруэнтных полутраекторий, накрывающих / (), которые пересекают L сколь угодно близко в евклидовой метрике к абсолюту. [22]
Во всякой точке минимальной поверхности главные кривизны равны и имеют обратные знаки, индикатриса состоит из двух равнобочных сопряженных гипербол и асимптотические направления взаимно перпендикулярны. [23]
При аффинных преобразованиях плоскости A 2 ( i) линия второго порядка не может изменить свой тип, так как при этом действительные асимптотические направления переходят в действительные. [24]
Для функции общего положения эта поверхность гладко продолжается асимптотическими направлениями в параболических точках. Асимптотические направления в гиперболических точках поднимаются до поля направлений на построенной поверхности. Это поле направлений на поверхности гладко продолжается до ее критической линии, лежащей над параболической кривой, исключая лишь те особые точки параболической кривой, где асимптотическое направление касается этой кривой. [25]
Так как сами асимптотические направления не зависят от точки ( х0, у0, zQ то конусы асимптотических направлений, с точностью до произвольных параллельных переносов, совпадают; таким образом, если речь идет лишь о направлениях, можно пользоваться любым из этих конусов. [26]
Уравнение ( 4) с точностью до обозначений совпадает с уравнением ( 8) § 9 гл. XI, которое определяет координаты векторов, имеющих асимптотические направления относительно рассматриваемой гиперповерхности. Отсюда следует, что прямые асимптотических направлений и есть те прямые, на которых находятся бесконечно удаленные точки данной гиперповерхности. [27]
Полная кривизна, линии конечна, если линия замкнута или имеет асимптотические направления. [28]
Исторически первый пример с неограниченным отклонением был найден ( в качестве контрпримера к теореме 2 Пупко [48]) в области, прямо не связанной с рассматриваемой нами тематикой. Именно, в построенном Робинсоном и Вильямсом [84] примере А-диффеоморфизма кренделя В.З. Гринес в 1973 г. обнаружил неустойчивые многообразия некоторых точек одномерного репеллера, поднятия которых имели иррациональные асимптотические направления и неограниченно отклонялись от соответствующих геодезических. С - поток, у которого имеется траектория, обладающая свойством неограниченного отклонения. [29]
Таким образом, пока асимптотичность и неасимптотичность направлений определены лишь относительно заданного уравнения поверхности. Правда, легко показать, что при преобразовании этого уравнения, вызванном переходом к новой системе координат, асимптотичность направлений сохраняется. Однако мы ведь не доказали, что поверхность не может выражаться в одной и той же системе координат двумя разными уравнениями, дающими одну и ту же поверхность, но совсем разные асимптотические направления. [30]