Cтраница 3
Естественно, что все авторы в основу проективно-дифференциальной геометрии кладут однородные координаты. Строя такие дифференциальные формы, которые бы сохранялись при всех проективных преобразованиях, Fubini должен был отбросить линейный элемент поверхности, так как длина линий при коллинации меняется. В самом деле она определяет асимптотические направления, а ведь это-направление касательных в двойной точке линии пересечения поверхности с ее касательной плоскостью. Естественно, что эта квадратичная форма может меняться только на множитель, и, нормируя ее подходящим образом, Fubini получает первую форму своей геометрии. [31]
Но это означает, что луч р2 параллелен биссектрисе а. Если луч р повернется на прямой угол, то в силу конгруентности пучков и луч р2 повернется на прямой угол. Таким образом кривая второго порядка, образованная пучками S, и S2, имеет две несобственные точки. Такая кривая второго порядка называется гиперболой. Как мы видели, направления лучей, проходящих через несобственные точки гиперболы ( так называемые асимптотические направления), взаимно перпендикулярны. В этом случае гипербола называется равносторонней. [32]
Рассмотрим простейший случай пути, состоящего из начального и конечного отрезков прямой с отрезком геодезической между ними. Близкие геодезические пучка заполняют на поверхности препятствия некоторую область. В каждой точке этой области геодезическая пучка имеет определенное направление. В точках общего положения это направление не асимптотическое. На рис. 61 асимптотические направления изображены горизонтальными отрезками, а кривая касания обозначена буквой / С; геодезические - жирные линии. [33]
Видно, что база является множеством уровня квадратичной формы от п - 1 переменной. Простейший случай получается, когда она положительно определена: тогда это множество уровня есть эллипсоид, в частности, оно ограничено, и наш конус похож на школьные трехмерные конусы. Этот случай отвечает сигнатуре ( п - 1 1) или ( 1 п - 1); при п 4 пространство ( R4, q) есть знаменитое пространство Минковскоео, которое будет подробно изучено ниже. Для других сигнатур С устроен заметно сложнее, ибо его база уходит на бесконечность. Сечения графика q вертикальными плоскостями, проходящими через образующие С, совпадают с этими образующими. Для любых других плоскостей получаются либо чаши, либо купола - асимптотические направления разделяют эти два случая. Поэтому конус С делит пространство R C на две части, сплошь заметаемые прямыми, вдоль которых q соответственно положительна или отрицательна. Одна из этих областей называется совокупностью внутренних пол конуса С, другая - его внешностью. [34]