Cтраница 3
Тем не менее, фрактальная геометрия не является прямым приложением идей, доминирующих в математике XX в. В списке главных действующих лиц кризиса, продолжавшегося приблизительно до 1925 г., отметим такие выдающиеся имена, как Кантор, Пеано, Лебег и Хаусдорф. Этих людей, а вместе с ними и Безиковича, Больцано, Чезаро, Коха, Осгуда, Серпинского и Урысона, вы вряд ли встретите среди авторов эмпирических исследований Природы, однако я заявляю, что влияние трудов этих великих людей оказалось значительно шире рамок их первоначальных замыслов. [31]
В том или ином объеме эти вопросы излагаются во многих книгах и монографиях, а также в обширной журнальной литературе. Первым в мировой литературе курсом методов вычислений явилась книга академика А. Н. Крылова Лекции о приближенных вычислениях, изданная в 1911 г. Этот курс не потерял своего значения и сейчас, но он естественно во многом устарел и не охватывает многих важных в настоящее время вопросов. Элементарным курсом методов вычислений, рассчитанным на инженеров и техников, является книга Я. Безиковича Приближенные вычисления, первое издание которой относится к 1924 г. Неоднократно переиздавалась монография Л. В. Канторовича и В. И. Крылова Приближенные методы высшего анализа, в которой описаны приближенные методы решения задач математической физики. [32]
Размерностную несогласованность основных фракталов можно использовать для трансформации интуитивного понятия фрактала в строго математическое. Я решил сосредоточиться на двух определениях, каждое из которых ставит в соответствие всякому множеству R в евклидовом пространстве - каким бы патологическим оно ни выглядело - некое вещественное число, которое и с интуитивной, и с формальной точки зрения имеет полное право называться размерностью этого множества. Более неформальным из двух является определение топологической размерности по Брауэру, Лебегу, Менгеру и Урысону. Обозначим ее через DT - Определение второй размерности было сформулировано Хаусдорфом в [203] и приведено в окончательный вид Безиковичем. [33]
В частности, X и н ч и н [28, 29, 31] доказал, что плотность суммы двух последовательностей больше или равна сумме плотностей этих последовательностей ( конечно, если эта сумма не превышает единицы), если их плотности равны. Значительно позже эта теорема была доказана, уже без предположения равенства плотностей, американским математиком Манном, а после него Артином и Шерком. Многие любопытные результаты в теории плотностей последовательностей были получены после работ Л. Г. Шнирельмана Л. И. Шатров с ким [ 1, 2, 3, 4, 5J, Эрдешем, Безиковичем, Ландау и другими авторами. [34]
Несколько слов об истории развития идей фрактальной геометрии. Она тесно связана с именами таких известных математиков, как Вейерштрасс, Кантор, Пеано, Хаусдорф, Безикович, Кох, Серпинский и др. Так Вейерштрасс впервые ввел в обращение непрерывную, но нигде не дифференцируемую функцию. Среди них были канторовское множество, кривая Коха и другие экзотические объекты, мало в то время известные за пределами чистой математики. Оригинальные идеи Хаусдорфа впоследствии были существенно развиты Безиковичем. [35]