Cтраница 2
Белинского и Захарова, теоретико-группового подхода Киннерсли и др., завершенного в работах Хаусера и Эрнста и преобразований Беклунда, построенных Нейгебауером) я показана их эквивалентность. [16]
Мы видим, что при выполнении уравнения [ Я, D ] 0 соотношения (4.5), (4.6) залают преобразования Беклунда матричной Л - цепочки Топы, связывающие ее с матричной Л i-цепочкой Тоды и свободным уравнением Лапласа. [17]
Таким образом, мы видим, что F-G - пары, используемые в методе обратной задачи, и преобразования Беклунда являются разными представлениями одной и той же алгебры продолженных структур. [18]
Мы видим, что при А 0 функция w удовлетворяет свободному уравнению Лапласа, а при а, А 0 преобразования Беклунда (2.20) связывают уравнение Лиувилля с ним же самим. [19]
Гаррисоном [68] был использован известный общий подход к анализу внутренней структуры вполне интегрируемых систем - метод Эстабрука-Уолквиста [31] и показано наличие у вакуумных уравнений Эрнста преобразований Беклунда. [20]
Итак, мы получили следующий результат: имеем первоначально систему (3.37), обладающую автопреобразованием Беклунда, эта система допускает две редукции (3.38) и (3.39), редуцированные уравнения уже не обладают автопреобразованием Беклунда, но существует преобразование Беклунда (3.35), связывающее их между собой. [21]
Итак, мы получили следующий результат: имеем первоначально систему (3.37), обладающую автопреобразованием Беклунда, эта система допускает две редукции (3.38) и (3.39), редуцированные уравнения уже не обладают автопреобразованием Беклунда, но существует преобразование Беклунда (3.35), связывающее их между собой. [22]
Сознавая очевидную неполноту описания истории исследования интегрируемости уравнений Эрнста и вполне вероятное присутствие некоторой доли субъективизма в ее изложении, мы все же ограничимся здесь сделанным перечислением результатов и вернемся к основной теме настоящего обзора - описанию методов построения преобразований Беклунда для этих уравнений. [23]
К сожалению, в этом случае не удается найти явные формулы, непосредственно выражающие функции С через функции F, аналогичные формулам (3.25) в случае непериодических Сп - цепочек Тоды. Система (3.30), (3.31) является преобразованием Беклунда, связывающим периодическую С - цепочку Тоды с этими уравнениями. Тоды не удается рассмотреть аналогичным образом. Если исходить из уравнений (3.1), (3.2), то на соответствующие функции 0 или их линейные комбинации с функциями р не удается получить самостоятельной замкнутой системы уравнений. Это согласуется с тем, что, как показано, в работе [4], изЛЬУ - пары (3.1), (3.2) для. В - цепочки Тоды можно получить только нелокальные интегралы движения, существование которых, вообще говоря, не свидетельствует об ее интегрируемости. [24]
Нетрудно получить аналогичное уравнение и для сверхзвуковых течений. Дальнейшее преобразование уравнений годографа основано на обобщении преобразования Беклунда из теории поверхностей; см. статью Левнера [ L о е w n е г С. [25]
В случае уравнения Эрнста в упомянутых здесь преобразованиях Беклунда никаких дополнительных параметров нет, однако входящие в них дифференциальные операторы уже образуют бесконечную алгебру. [26]
Изучаются алгебраические структуры, связанные с преобразованиями - Беклунда нелинейных дифференциальных уравнений. Дано изложение метода продолженных структур Уолквиста-Эстабрука и описаны его связи с преобразованиями Беклунда и F - G-парами интегрируемых уравнений. В качестве примеров рассмотрены уравнения Кортевега-де Вриза, Лиувилля и синус - Гордона. Разработаны преобразования Беклунда цепочек Тоды, имеющие непосредственную групповую интерпретацию. Подробно исследованы продолженные структуры уравнения Эрнста, показано, как с их помощью строятся его преобразования Беклунда. [27]
Таким образом, мы видим, что уравнения (3.8), (3.9) являются преобразованиями Беклунда, связывающими непериодическую цепочку Ап с непериодической цепочкой Лп - и свободным уравнением Ла-пляся. Продолжая эту редукцию дальше, получаем, что последовательность из п преобразований Беклунда связываем непериодическую цепочку Ап с п свободными уравнениями Лапласа. [28]
Разложение общего вида ( 2), подразумевающее более громоздкие, но вместе с этим более информативные выкладки, полезно использовать на втором этапе исследования после установления свойства Фукса - Ковалевской - Пенлеве. Это позволяет выяснять многие важные свойства уравнений и их решений и найти вид преобразования Беклунда, линеаризующего исходное уравнение. [29]
Большинство результатов для ур-ния ( 1) справедливо и для системы ( 2), однако в последнем случае для разрешимости обратной задачи рассеяния требуется накладывать ряд дополнит, условий на данные рассеяния. Помимо стандартных методов для системы ( 2) существует метод построения решения с помощью преобразования Беклунда - Шлезингера. [30]