Cтраница 3
Как было указано выше, непериодические цепочки Тоды, отвечающие алгебрам В, С, GJ, связываются преобразованиями Беклунда с непериодическими цепочками алгебр j4jn i, - Дзп-а, АЪ. Однако при более внимательном рассмотрении выясняется, что на эти новые цепочки Тоды наложены еще некоторые дополнительные соотношения типа законов сохранения. Они имеют следующее происхождение. Как известно, непериодические цепочки Тоды типа В, С, GJ получаются с помощью редукции из цепочек типа А. Соотношения, задающие редукцию исходных цепочек, задают и редукцию цепочек, связанных с ними преобразованиями Беклунда. Беклунда эти алгебраические соотношения превращаются в дифференциальные уравнения. Аналогичный факт наблюдается и при рассмотрении периодических Сп-цепочек Тоды. [31]
Гаррисоном [68] был использован известный общий подход к анализу внутренней структуры вполне интегрируемых систем - метод Эстабрука-Уолквиста [31] и показано наличие у вакуумных уравнений Эрнста преобразований Беклунда. В работах [70-72] были не только построены преобразования Беклунда, но и получены элегантные явные ( детерМИнантные) формулы для решений, возникающих в результате многократных повторений этих преобразований и содержащих произвольное число свободных параметров. [32]
Примечательно, что это интегральное уравнение, определенное на некотором разрезе на плоскости вспомогательного комплексного ( спектрального) параметра, имеет вполне классический вид, а вся информация о структуре уравнений Эрнста заключается в структуре его ядра и виде разреза. Обширные семейства точных решений ( более широкие, чем солнтонные решения, возникающие в результате преобразований Беклунда или применения метода одевания) могут быть вычислены явно с помощью элементарной теории вычетов и чисто алгебраических операций. Кроме того, появляется возможность рассмотрения чисто локальным путем разнообразного типа граничных задач и построения линейного алгоритма их решения. [33]
В заключение нам хотелось бы подчеркнуть, что приведенные здесь элементы различных подходов и их взаимосвязи, с нашей точки зрения, достаточно наглядно свидетельствуют о наличии чрезвычайно богатой внутренней структуры интегрируемых систем и, в частности, рассматривавшегося более подробно уравнения Эрнста. Каждый из существующих подходов к описанию различных аспектов внутренней структуры вполне интегрируемых уравнений обладает своей красотой и, конечно же, заслуживает значительно более детального рассмотрения и анализа. Не надеясь в этом сравнительно кратком обзоре сколь-нибудь полно отразить разнообразные применения, а также все достоинства упомянутых здесь методов, мы хотели лишь выделить некоторые существующие взаимосвязи и аналогии, возникающие при рассмотрении различных случаев интегрируемости и подходов к построению преобразований Беклунда, что может способствовать формированию более общих представлений о структуре интегрируемых уравнений, выделению наиболее общих свойств и закономерностей, а также помочь выделить на этом фоне специфические особенности некоторых из рассматриваемых уравнений, которые могут указывать новые пути к их интегрированию. [34]
Действительно, уже в первой работе Эстабрука и Уолквиста [31] было показано, что в важнейших случаях вполне интегрируемых уравнений из генераторов этой алгебры продолженных структур удается построить алгебры Ли с конечным числом параметров, а рассмотрение различных их реализаций приводит к эффективным методам построения пар Лакса, а также законов сохранения и преобразований Беклунда. [35]
Изучаются алгебраические структуры, связанные с преобразованиями - Беклунда нелинейных дифференциальных уравнений. Дано изложение метода продолженных структур Уолквиста-Эстабрука и описаны его связи с преобразованиями Беклунда и F - G-парами интегрируемых уравнений. В качестве примеров рассмотрены уравнения Кортевега-де Вриза, Лиувилля и синус - Гордона. Разработаны преобразования Беклунда цепочек Тоды, имеющие непосредственную групповую интерпретацию. Подробно исследованы продолженные структуры уравнения Эрнста, показано, как с их помощью строятся его преобразования Беклунда. [36]
Изучаются алгебраические структуры, связанные с преобразованиями - Беклунда нелинейных дифференциальных уравнений. Дано изложение метода продолженных структур Уолквиста-Эстабрука и описаны его связи с преобразованиями Беклунда и F - G-парами интегрируемых уравнений. В качестве примеров рассмотрены уравнения Кортевега-де Вриза, Лиувилля и синус - Гордона. Разработаны преобразования Беклунда цепочек Тоды, имеющие непосредственную групповую интерпретацию. Подробно исследованы продолженные структуры уравнения Эрнста, показано, как с их помощью строятся его преобразования Беклунда. [37]
Как было указано выше, непериодические цепочки Тоды, отвечающие алгебрам В, С, GJ, связываются преобразованиями Беклунда с непериодическими цепочками алгебр j4jn i, - Дзп-а, АЪ. Однако при более внимательном рассмотрении выясняется, что на эти новые цепочки Тоды наложены еще некоторые дополнительные соотношения типа законов сохранения. Они имеют следующее происхождение. Как известно, непериодические цепочки Тоды типа В, С, GJ получаются с помощью редукции из цепочек типа А. Соотношения, задающие редукцию исходных цепочек, задают и редукцию цепочек, связанных с ними преобразованиями Беклунда. Беклунда эти алгебраические соотношения превращаются в дифференциальные уравнения. Аналогичный факт наблюдается и при рассмотрении периодических Сп-цепочек Тоды. [38]