Независимость - испытание
Cтраница 2
Схема Б е р н у л л и - схема последовательно проводимых взаимно независимых испытаний ( наблюдений), в каждом из которых с вероятностью р может появиться событие А. Независимость испытаний означает, что результат каждого из них ( появление или непоявление некоторого события А ] никак не зависит от результатов предыдущих или последующих наблюдений. Определяющим условием схемы Бернулли является также равновероятность появления события А в каждом из наблюдений: р / ( А) р, где / - номер испытания. [17]
Каждый результат проведения п испытаний может быть представлен цепочкой символов У и Н, например, УУННУ... Ввиду независимости испытаний вероятность каждой конкретной цепочки равна pkqn-k, где k - число символов У, встречающихся в цепочке. [18]
Теперь обратим внимание на то обстоятельство, что интересующий нас исход испытаний может быть представлен как совокупность чередующихся событий А и А, в которой события А и А встречаются N и ( п - N) раз соответственно. Вероятность наблюдения такой последовательности ( независимость испытаний) равна pN ( - p) n - N. Поскольку порядок наблюдения событий неважен, искомая вероятность равна сумме вероятностей всех таких комбинаций со всевозможными чередованиями событий А и А. [19]
Итак, после прояснения традиционных формулировок предельных теорем получается нечто отличное от фундаментальных предложений, каковыми представлялись эти теоремы в начальный период развития теории вероятностей. Так происходит из-за того, что обнажается нетривиальность эмпирической проверки независимости испытаний и заключений предельных теорем. С зависимыми испытаниями, например марковскими, дело принимает подобный же оборот. [20]
Таким образом, если в памяти расположены значения Zj ( t -, можно легко получить из них набор значений Zjf, при этом дополнительной памяти не требуется. При таком усовершенствовании распределение каждой из величин V сохраняется, но нарушается независимость испытаний. Zy - f n будут равны Uf, так что эффект будет почти такой же, как при повторении одних и тех же данных t раз ( что приводит к увеличению V в t раз; ср. [21]
S и случайным событием А, обычно включает также определенные допущения о характере и степени зависимости испытаний. После того как такие дополнительные допущения ( из к-рых наиболее часто встречающимся является независимость испытаний, см. раздел Основные понятия теории вероятностей) сделаны, вышеприведенное расплывчатое утверждение о близости частоты к вероятности может быть количественно уточнено. [22]
Так как на практике часто неизвестные вероятности приходится приближенно определять из опыта, то для проверки согласия теоремы Бернулли с опытом было проведено большое число опытов. При этом рассматривались события, вероятности которых можно считать по тем или иным соображениям известными, относительно которых легко проводить испытания и обеспечить независимость испытаний, а также постоянство вероятностей в каждом из испытаний. [23]
Так как на практике часто неизвестные вероятности приходится приближенно определять из опыта, то для проверки согласия теоремы Бернулли с опытом было проведено большое число опытов. При этом рассматривались события, вероятности которых можно считать по тем и аи иным соображениям известными, относительно которых легко проводить испытания и обеспечить независимость испытаний, а также постоянство вероятностей в каждом из испытаний. [24]
 |
Примеры непрерывного ( а и дискретного ( б распределений. [25] |
Наиболее часто в приложениях встречаются распределения дискретных случайных величин, принимающих лишь целочисленные значения: биномиальное, полиномиальное. Реализация тех или иных распределений регулируется степенью соответствия условий проведения случайных экспериментов комплексу требований, известному под названием схема Бернулли. Независимость испытаний в сочетании с постоянством вероятностей наступления событий обеспечивает появление биномиального ( если число взаимоисключающих исходов т не более двух) или полиномиального ( если т 2) распределений. Сохраняя те же условия, но приближая вероятность р одного из двух взаимоисключающих исходов к нулю и вводя дополнительное условие пр К ( К - некоторая постоянная, п - число наблюдений), получаем распределение Пуассона. Если р достаточно мало, то результаты эксперимента будут удовлетворительно описываться пуассоновским распределением даже в том случае, если требование постоянства вероятностей нарушено. Если же изменяющиеся от испытания к испытанию вероятности появления события имеют сравнительно большие значения, то ожидаемое распределение скорее всего будет близко к обобщенному биномиальному. [26]
Применим теперь теорему 1 и формулу ( 55) к так называемому биномиальному распределению. Биномиальное распределение возникает в результате проведения независимых испытаний по так называемой схеме Бернулли. Эта схема, помимо свойства независимости испытаний, характеризуется еще и тем, что при каждом испытании возможны только два исхода, возникающие с вероятностями р и q 1 - р соответственно. [27]
Кроме того, теория оценок извлекает не абсолютный максимум информации, а максимум в смысле некоторых специфических критериев. Их практическая полезность не бесспорна. Наконец, эта теория опирается на постулат о независимости испытаний. [28]
Так, успехом можно считать выпадение не орла, а решки, обнаружение не бракованного, а годного изделия, рождение не девочки, а мальчика, обнаружение нейтрона вне заданного интервала значений энергии, обнаружение страницы без опечаток, выявление дня, в который норма расхода электроэнергии была превышена, непоявление ростка из посаженного семени, обнаружение перегоревшей до срока лампочки, выдачу неправильного ответа на вопрос, непопадание в яблочко, обнаружение безаварийного дня. Обратим внимание на то, что в рассмотренных нами ситуациях независимость испытаний вполне очевидна. Исход того или иного подбрасывания монеты никак не связан с исходами других подбрасываний. Появление того или иного бракованного изделия не связано с появлением или непоявлением брака в других изделиях. Рождение у данной матери девочки не связано с рождением детей у других матерей. Каждый нейтрон регистрируется независимо от регистрации других нейтронов. Обнаружение страницы с опечаткой не связано с наличием или отсутствием опечаток на других страницах. [29]
Бернулли дает идеальный стандарт, несмотря даже на то, что этот стандарт никогда не достигается вполне точно. Так, в приведенном выше примере производства шайб продукция по многим причинам не может вполне соответствовать схеме Бернулли. Машины подвержены изменениям, и поэтому вероятности не остаются одними и теми же; в режиме работы машин имеется некоторое постоянство, в результате чего длинные серии одинаковых отклонений оказываются более вероятными, чем это было бы при действительной независимости испытаний. Однако с точки зрения контроля качества продукции желательно, чтобы процесс соответствовал схеме Бернулли, и важно то, что в некоторых пределах этого можно добиться. [30]
Страницы: 1 2 3