Cтраница 1
Независимость аксиом ( а), ф), ( у), ( 6) доказывается для случая объема так же, как и для площади. [1]
Доказательство независимости аксиом и правил вывода в некотором Исчислении, хотя и проходит обычно но общей схеме, но требует немалой изобретательности и хорошего понимания аксиоматики, как в ее содержательном смысле, так и в ее формальном ( текстовом) представлении. С каждой аксиомой ( или правилом вывода) связывается некоторое конкретное свойство формул или их интерпретаций. [2]
Вопрос о независимости аксиомы ( а) от ( Р), ( у), ( б) является более сложным, но и более принципиальным. Речь идет о построении функции sa ( F), не удовлетворяющей аксиоме ( а), которая удовлетворяет аксиомам ( Р), ( б) и является инвариантной относительно любых движений плоскости. [3]
Вопрос о независимости аксиом ( а), (), ( у), ( 6) рассматривается аналогично случаю площади ( § 4) или объема. Однако здесь имеется одна тонкость. [4]
По определению независимости аксиом мы заключаем, что аксиома III независима от остальных аксиом рассматриваемой системы. [5]
Для доказательства независимости аксиом друг от друга и независимости групп аксиом строится интерпретация системы, получающейся из данной путем замены какой-либо ее аксиомы ее отрицанием. Полнота системы выводится из полноты множества действительных чисел. [6]
Согласно общему приему доказательства независимости аксиом, указанному в § 4, нам достаточно построить такую реализацию системы аксиом евклидовой геометрии без аксиомы параллельности, в кото рой аксиома параллельности не выполняется. [7]
Именно таким путем мы докажем независимость аксиомы непрерывности в евклидовой геометрии. [8]
Построение реализации К и доказывает независимость аксиомы параллельности. [9]
Линденбаумом) наибольшей известностью пользуются доказательства независимости аксиомы выбора от др. аксиом в ряде акспо-матич. [10]
Аналогично обстоит дело и с вопросом о независимости аксиом. Какая-либо аксиома называется независимой в данной системе аксиом, если она невыводима из остальных аксиом этой системы. Для доказательства независимости какой-либо аксиомы достаточно найти систему объектов, удовлетворяющую всем аксиомам, кроме исследуемой, и не удовлетворяющей этой последней. Иными словами, для доказательства независимости аксиомы требуется найти интерпретацию системы аксиом, полученной из рассматриваемой после замены исследуемой аксиомы ее отрицанием. Поэтому, для того чтобы пользоваться системой аксиом, необходимо иметь заранее такие объекты, свойства и отношения, которые могут служить точной интерпретацией этой системы аксиом. [11]
Некоторые указания для анализа этого примера, устанавливающего независимость аксиомы В4, даются в одном из упражнений. [12]
Подобная ситуация действительно возникла после доказательства Коэ-ном [1 ] независимости аксиомы выбора от остальных аксиом теории множеств. Впрочем, в отличие от Козна и Херша [1] Новиков [2] оценивает создавшееся положение иначе. [13]
Желательной, хотя и не необходимой, является также независимость отдельных аксиом какой-либо системы. В системе аксиом не должно заключаться лишних составных частей, в ней не должно быть предложений, доказуемых на основании других аксиом. Вопрос о независимости аксиом теснейшим образом связан с вопросом о непротиворечивости их, ибо то обстоятельство, что предложение а не зависит от некоторых определенных аксиом, сводится к тому, что предложение а им не противоречит. [14]
В следующем параграфе мы докажем более сильную теорему о независимости аксиомы полной индукции, которая содержит как частный случай теорему о независимости аксиомы полной индукции от остальных аксиом арифметики. Мы все же докажем сперва отдельно теорему о независимости аксиомы полной индукции в арифметике, так как хотя она и слабее той теоремы, которая будет доказана дальше, но зато и доказательство ее значительно проще. [15]