Cтраница 2
Ясно, что если удастся привести такую интерпретацию, то независимость аксиомы 51 от других аксиом будет доказана, так как если бы 51 была выводима из них, то она имела бы значение а при всех значениях переменных. Заметим, что формулы, в которых вместо переменных подставлены некоторые их значения, также имеют смысл. [16]
При рассмотрении системы 5, П, , которая, как мы утверждаем, устанавливает независимость аксиомы Б4, очевидно, что аксиомы BJL и В2 справедливы. [17]
В главе II мы уже указывали метод, который применялся и применяется для доказательства непротиворечивости и независимости аксиом. [18]
III группы Гильберта, которые автор берет в формулировке Штейнгауза, принятой также Вейнлез), изучавшей вопрос о независимости аксиом I и II групп; относительно II группы результаты Е. М. Ливенсона сходятся с результатами Вейнлез, за исключением аксиомы II: 2, которая оказалась зависящей от остальных аксиом I и II групп. [19]
В следующем параграфе мы докажем более сильную теорему о независимости аксиомы полной индукции, которая содержит как частный случай теорему о независимости аксиомы полной индукции от остальных аксиом арифметики. Мы все же докажем сперва отдельно теорему о независимости аксиомы полной индукции в арифметике, так как хотя она и слабее той теоремы, которая будет доказана дальше, но зато и доказательство ее значительно проще. [20]
Все усилия выполнить это были напрасны, и в конце концов была сделана попытка ( впервые Гауссом, но не опубликовано; затем независимо Больаи и Лобачевским) доказать независимость аксиомы о параллельных путем построения геометрической системы, в которой она не имеет силы. [21]
Доказательство того, что правила вывода, применяемые к формулам, тождественно равным а, порождают формулы, также тождественно равные а, для всех интерпретаций будет таким же, как и в случае приведенного выше доказательства независимости аксиомы II. Таким образом, остается доказать независимость аксиом группы I. Доказательство независимости этих аксиом более трудно, так как знак - входит во все группы. [22]
Из этого видно, что существует 2х функций Коши - Гамеля. Для доказательства независимости аксиомы ( а) нужна была одна функция такого вида. [23]
Вообще вопрос о независимости аксиом обычно ставится для непротиворечивых систем или для таких систем, непротиворечивость которых предполагается. В последнем случае в вопросе о независимости аксиом ограничиваются сведением этого вопроса к непротиворечивости данной системы. [24]
Таким образом, мы построили реализацию системы всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы непрерывности, которая в этой реализации не имеет места. Это и доказывает независимость аксиомы непрерывности от остальных аксиом евклидовой геометрии. [25]
Доказательство того, что правила вывода, применяемые к формулам, тождественно равным а, порождают формулы, также тождественно равные а, для всех интерпретаций будет таким же, как и в случае приведенного выше доказательства независимости аксиомы II. Таким образом, остается доказать независимость аксиом группы I. Доказательство независимости этих аксиом более трудно, так как знак - входит во все группы. [26]
Первая глава этого сочинения содержит перечень постулатов, на которых строится евклидова геометрия; в ней даются также указания, как из этих постулатов геометрия развертывается. Вторая глава посвящена доказательству непротиворечивости и независимости установленных аксиом. [27]
Аксиомы в новой формулировке теории булевых алгебр независимы. Ниже даются определения четырех систем, доказывающих независимость аксиомы с соответствующим значком. [28]
В следующем параграфе мы докажем более сильную теорему о независимости аксиомы полной индукции, которая содержит как частный случай теорему о независимости аксиомы полной индукции от остальных аксиом арифметики. Мы все же докажем сперва отдельно теорему о независимости аксиомы полной индукции в арифметике, так как хотя она и слабее той теоремы, которая будет доказана дальше, но зато и доказательство ее значительно проще. [29]
Рассмотрим этот вопрос подробнее. Именно, мы покажем, что для длины отрезка независимость аксиомы ( а) может быть установлена только с использованием аксиомы выбора. [30]