Cтраница 3
Решение этих важных для аксиоматического построения геометрии вопросов было получено сравнительно недавно. Его открытие неевклидовой геометрии и связанное с этим установление независимости аксиомы параллельных положило начало многочисленным плодотворным исследованиям выдающихся математиков XIX века, в работах которых упомянутые вопросы в применении к влементарной геометрии получили полное разрешение. [31]
Здесь прежде всего необходимо четко формулировать основные вопросы, возникающие при аксиоматическом построении любой теории и геометрии в частности, доказать непротиворечивость и полноту системы аксиом элементарной геометрии. Что же касается их независимости, то достаточно ограничиться доказательством независимости аксиомы непрерывности в форме Дедекинда и аксиомы параллельности. В последнем вопросе предпочтительно пользоваться интерпретацией Клейна. Дело в том, что в этой интерпретации проверка всех аксиом, кроме аксиом движения, действительно тривиальна, а проверка аксиом движения также может быть проведена достаточно просто путем приведения произвольной точки к центру некоторым стандартным образом, а затем использования евклидовых вращений около центра абсолюта и зеркальных отражений в его диаметрах. [32]
Несмотря на то, что уже Начала Евклида испокон веков трактуются как образец-пусть несвободный еще от некоторых дефектов-применения аксиоматического метода, последний является, по существу, характерным именно для современной математики. В современной математике аксиоматический метод приобрел ту форму, с которой оказались органически связанными проблемы непротиворечивости, полноты и независимости аксиом данной системы), развитие которых привело в дальнейшем к необходимости расширить самое понятие математической теории, включив в него элементы логики. На этом обстоятельстве нам и представляется необходимым немного остановиться. [33]
Желательной, хотя и не необходимой, является также независимость отдельных аксиом какой-либо системы. В системе аксиом не должно заключаться лишних составных частей, в ней не должно быть предложений, доказуемых на основании других аксиом. Вопрос о независимости аксиом теснейшим образом связан с вопросом о непротиворечивости их, ибо то обстоятельство, что предложение а не зависит от некоторых определенных аксиом, сводится к тому, что предложение а им не противоречит. [34]
Внутренняя независимость бывает нужна ( об этом мы также раньше говорили) для того, чтобы в системе не было лишних аксиом. С вопросом независимости аксиом была связана хорошо известная история проблемы о пятом постулате Евклида, или аксиоме о параллельных. Лобачевский высказал мысль о невыводимости этого постулата из других аксиом геометрии и дал этому предположению убедительное обоснование. В его исследованиях уже заключались элементы метода интерпретации, и впоследствии невыводимость пятого постулата на этом пути и была окончательно установлена. Была построена такая система объектов, которая удовлетворяет всем аксиомам геометрии, кроме аксиомы о параллельных, и не удовлетворяет этой последней. Метод интерпретации, однако, приложим к вопросам непротиворечивости и независимости только в известных границах. Другие методы уже связаны с рассмотрением абстрактных логических систем. [35]
Более точно, ни одна из формул 1 - 10 не может быть формально доказана с помощью совокупности всех остальных аксиом. Это свойство называется свойством независимости аксиом выбранной системы. Свойство независимости доказывается отдельно для каждой аксиомы с помощью построения такой содержательной интерпретации, при которой эта аксиома не выполняется, а все остальные аксиомы выполняются. [36]
Вообще вопрос о независимости аксиом обычно ставится для непротиворечивых систем или для таких систем, непротиворечивость которых предполагается. В последнем случае в вопросе о независимости аксиом ограничиваются сведением этого вопроса к непротиворечивости данной системы. [37]
Были построены аксиоматические теории множеств Геделя - Бернайса и Цермело - Френкеля. В рамках этих теорий была установлена непротиворечивость и независимость аксиомы выбора. Мы отсылаем читателя к специальным работам: А. Заметим, что отказ от аксиомы выбора существенно обедняет теоретико-множественные построения. [38]
Были построены аксиоматические теории множеств Геделя - Бернайса и Цермело - Френкеля. В рамках этих теорий была установлена непротиворечивость и независимость аксиомы выбора. Заметим, что отказ от аксиомы выбора существенно обедняет теоретико-множественные построения. [39]
Аналогично обстоит дело и с вопросом о независимости аксиом. Какая-либо аксиома называется независимой в данной системе аксиом, если она невыводима из остальных аксиом этой системы. Для доказательства независимости какой-либо аксиомы достаточно найти систему объектов, удовлетворяющую всем аксиомам, кроме исследуемой, и не удовлетворяющей этой последней. Иными словами, для доказательства независимости аксиомы требуется найти интерпретацию системы аксиом, полученной из рассматриваемой после замены исследуемой аксиомы ее отрицанием. Поэтому, для того чтобы пользоваться системой аксиом, необходимо иметь заранее такие объекты, свойства и отношения, которые могут служить точной интерпретацией этой системы аксиом. [40]
Вероятно, нет такой науки, в которой логика применялась бы в большей мере, чем в математике. Все предложения, если они не приняты за аксиомы, строго доказываются. Самый выбор аксиом также логически обосновывается: ищутся доказательства непротиворечивости, полноты, часто и независимости аксиом. [41]
Наконец, система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом не может быть выведена из других как теорема. Этому требованию аксиомы Вейля не удовлетворяют. В самом деле, если к полной системе аксиом добавить новые аксиомы, не описывающие новых основных понятий, то она станет либо противоречивой, либо зависимой - в противном случае можно было бы указать две неизоморфные друг другу модели исходной, полной системы аксиом. Из этого, в частности, следует, что аксиомы III группы не могут быть аксиомами, поскольку новых основных понятий они не описывают. Более того, даже вопрос о независимости аксиом I группы ( линейного пространства) оказывается не вполне ясным. Как мы увидим в конце курса, при наиболее естественной трактовке аксиомы 4 аксиома 1 является теоремой, а не аксиомой. [42]
Наиболее известным примером служит аксиома параллельности. То обстоятельство, что все усилия всякий раз оказывались безуспешными, могло служить индуктивным аргументом в пользу независимости аксиомы параллельности, подобно тому как неудача всех попыток построить perpetuum mobile являлась индуктивным аргументом в пользу закона сохранения энергии. Творцы неэвклидовой геометрии извлекли тоже только следствия из предпосылки, противоположной аксиоме параллельности и утверждавшей, что через точку плоскости, лежащую вне данной прямой, можно провести целый пучок не пересекающих данную прямую прямых; при этом они констатировали, что в т о и области, которую им удалось исследовать, свободное применение прочих аксиом эвклидовой геометрии не порождает никакого противоречия. [43]
Вопрос о независимости аксиом ( а), (), ( у), ( 6) рассматривается аналогично случаю площади ( § 4) или объема. Однако здесь имеется одна тонкость. Y), ( б) была установлена ( в случае площади) без использования аксиомы выбора. Поскольку в случае длины речь идет именно об инвариантности относительно параллельных переносов, может создаться впечатление, что независимость аксиомы ( а) в случае длины отрезка устанавливается без использования аксиомы выбора. В действительности это не так, поскольку изложенные в § 10 соображения требуют не менее двух измерений и на случай прямой Л не переносятся. [44]
В главе II мы уже указывали метод, который применялся и применяется для доказательства непротиворечивости и независимости аксиом. Но неудовлетворительность теоретико-множественного обоснования как раз и является основной причиной обращения к аксиоматическому описанию математических систем. Поэтому возникла иная постановка вопроса о независимости и непротиворечивости. Обо всем этом мы уже неоднократно говорили. Доказать внутреннюю непротиворечивость исчисления - это значит доказать, что в нем не существует такой формулы ЭД, что и она и ее отрицание 51 выводимы в исчислении. Независимость аксиомы означает невыводимость ее из других аксиом с помощью правил вывода рассматриваемого исчисления. Для решения вопроса о непротиворечивости исчисления или независимости какой-либо из его аксиом в такой постановке нет необходимости прибегать к интерпретации Требуется металогическими средствами доказать невозможность формального вывода в нем тех или иных формул. [45]