Cтраница 3
Однако из попарной независимости независимость в совокупности не следует. [31]
Укажем пример попарной независимости 3 величин при отсутствии полной независимости: я задумываю одно из четырех данных чисел: 112, 121, 211, 222 и предлагаю своему собеседнику угадчть цифру сотен моего числа; если я назову цифру единиц или цифру десятков, то это не облегчит его задачу ( останется равно возможным, что моя цифра 1 или 2); но, если я скажу цифру и единиц и десятков, то ответ будет очевиден. [32]
Взаимно независимые события иногда называют независимыми в совокупности или независимыми. Из независимости следует попарная независимость каждой пары событий, обратное, вообще говоря, неверно. [33]
Часто ошибочно предполагают, что если любые два из трех событий независимы, то независимы и все три события. Однако из такой попарной независимости не следует независимость всех трех событий, как показывает следующий пример. [34]
Естественно возникает желание обобщить эту теорему на любое число величин. Однако некоррелированности и даже попарной независимости случайных величин для этого уже недостаточно. [35]
Пусть ( Q, зФ, Р) - вероятностное пространство такое, что для любого события А множество всех событий, не зависящих от А, образует алгебру. Доказать, что в этом случае из попарной независимости любого набора событий следует их независимость. [36]
Нетрудно сообразить, как следует понимать независимость в совокупности для пяти, шести и вообще любого конечного числа событий. Наряду с независимостью в совокупности рассматривают также попарную независимость событий. Ее смысл ясен из названия. Попарная - значит, взаимная независимость любых двух событий из рассматриваемой совокупности. Используя в дальнейшем термин независимость событий, мы будем иметь в виду именно независимость в совокупности. [37]
Если это соотношение выполняется только при k 2, то события называются попарно независимыми. Читателю предоставляется привести пример, показывающий, что из попарной независимости не следует независимость в совокупности. [38]
Теперь заметим, что в теореме 5.6.1 предполагалось, что кодовые слова выбирались независимо. Вместе с тем, если внимательно просмотреть доказательство, то можно установить, что в нем использовалась лишь попарная независимость. Таким образом, теорема 5.6.1 применима и к нашему ансамблю. [39]
Xj независимы для всех г ф j), но обратное неверно. Таким образом, из попарной независимости не следует независимости в совокупности. [40]
На плоскость бросается тетраэдр, три грани которого покрашены соответственно в красный, синий и зеленый цвета, а на четвертую нанесены все три цвета. Событие К означает, что при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая красный цвет, событие С - грань, содержащая синий цвет, и событие 3 - грань, содержащая зеленый цвет. Вероятность пересечения любой пары введенных событий равна 1 / t 1 / 2 1 / a, так как любая пара цветов присутствует только на одной грани. Это означает попарную независимость всех трех событий. [41]
Пусть на плоскость бросается тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий и зеленый цвета, а на четвертую нанесены все три цвета. Событие К означает, что при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая красный цвет, событие С - грань, содержащая синий цвет, и событие 3 - грань, содержащая зеленый цвет. Вероятность пересечения любой пары введенных событий равна 1 / 4 ( 1 / 2) - ( 1 / 2), так как любая пара цветов присутствует только на одной грани. Это означает попарную независимость всех трех событий. [42]
Вся система условий (3.7) кажется сложной, но, как будет ясно в дальнейшем, то, что эти условия выполняются, обычно бывает очевидным и не требует проверки. Нетрудно проверить по индукции ( начиная с п - 2 и используя (3.2)), что в определении 2 систему (3.7) можно заменить системой 2 уравнений, получаемых из последнего уравнения (3.7) заменой произвольного множества событий. Различие между взаимной и попарной независимостью имеет скорее теоретический, чем практический интерес. Практически важных примеров попарно независимых событий, не являющихся взаимно независимыми, по-видимому, не существует. Однако, вообще говоря, такие примеры, как показал Бернштейн ]), возможны. [43]
Во-первых, А к В, очевидно, независимы, поскольку результаты первого бросания не зависят от результатов второго. С другой стороны, события Л и С ( а также В и С) на первый взгляд кажутся зависимыми, но так как Р ( АС) Р ( А) - Я ( С) 1 / 4 и аналогично Р ( ВС) Р ( В) - Р ( С), они на самом деле независимы. Справедливо также, что любые два события определяют третье, поскольку каждое событие ( А, В и С) происходит тогда и только тогда, когда происходит ровно одно из двух других событий. Этот парадоксальный феномен показывает, что попарная независимость событий не означает их независимость в совокупности. Если мы хотим выразить последнее, то должны предполагать больше, чем попарную независимость. [44]
Во-первых, А и В, очевидно, независимы, поскольку результаты первого бросания не зависят от результатов второго. С другой стороны, события А и С ( а также В и С) на первый взгляд кажутся зависимыми, но так как Р ( АС) Р ( А) Р ( С) 1 / 4 и аналогично Р ( ВС) Р ( В) Р ( С), они на самом деле независимы. Справедливо также, что любые два события определяют третье, поскольку каждое событие ( А, В и С ] происходит тогда и только тогда, когда происходит ровно одно из двух других событий. Этот парадоксальный феномен показывает, что попарная независимость событий не означает их независимость в совокупности. Если мы хотим выразить последнее, то должны предполагать больше, чем попарную независимость. [45]