Cтраница 3
Интегральное неравенство (7.68) и теорема 7.9 установлены М. А. Красносельским и П. Е. Соболевским [1]; в указанной статье рассмотрен вопрос о том, какими свойствами гладкости должны обладать коэффициенты дифференциального оператора и границы области, чтобы выполнялось интегральное неравенство. [31]
Данная глава является введением в теорию неравенств различных типов и, следовательно, служит основой для исследований задач устойчивости в остальных главах. В параграфе 1.1 рассматриваются интегральные неравенства типа неравенств Гронуолла и их обобщения, приводятся основные понятия, необходимые для решения некоторых вариантов этих неравенств. Параграф 1.2 посвящен интегральным неравенствам типа неравенств Вендорфа. Здесь рассматриваются некоторые важные обобщения неравенств типа Гронуолла на многомерные интегральные неравенства. В параграфе 1.3 приводятся нелинейные интегральные неравенства сепарабельного типа, которые известны как неравенства типа Бихари, и рассматриваются несколько важных вариантов, а в параграфе 1.4 исследованы некоторые интегральные неравенства типа неравенств Бихари с несколькими независимыми переменными. [32]
Определяются интегральные неравенства, приводящие к принципу максимума скорости диссипации Онзагера. Приводятся ограничения, налагаемые интегральными неравенствами на механическое поведение материала. [33]
Настоящий параграф посвящен применению модификаций и обобщений метода Чаплыгина, рассмотренных для общих операторных уравнений в § 13, к интегральным уравнениям типа Вольтерра в полуупорядоченном пространстве Банаха. Для обоснования используются утверждения о двусторонних интегральных неравенствах, установленные в предыдущих параграфах настоящей главы. [34]
Из известных функциональных пространств пространства Lp при 1р - ( - оо имеют выпуклую сферу. Это вытекает из того, что в интегральном неравенстве М инковского знак равенства достигается лишь в том случае, если соответствующие функции пропорциональны. [35]
Теория дифференциальных неравенств, играющая важную роль в изучении качественного поведения решений нелинейных дифференциальных систем, развита в параграфе 1.5, где также представлено распространение этой теории в случае абстрактных конусов. Изучение нелинейных интегральных неравенств является содержанием параграфа 1.6. В параграфе 1.7 исследуются нелинейные интегральные неравенства общего типа, которые имеют широкое применение в том смысле, что они содержат несколько специальных случаев, встречающихся в литературе. Параграф 1.8 касается теории интегродифференциаль-ных неравенств, для которых общие результаты метода сравнения, позволяют свести изучение интегродифференциальных неравенств к исследованию дифференциальных неравенств. Здесь приводятся некоторые специальные случаи, представляющие интерес и иллюстрирующие преимущества этого подхода. [36]
Утверждение о нестрогих операторных неравенствах для уравнений типа Вольтерра в банаховом пространстве, доказанные в § 9, имеют в общем случае локальный характер. Ниже для случая интегральных уравнений типа Вольтерра установлены также некоторые теоремы о нестрогих интегральных неравенствах, которые имеют место на всем рассматриваемом сегменте. [37]
Книга содержит в себе также материал, представляющий интерес и для специалистов. К этому следует, прежде всего, отнести ту часть книги, где речь идет об интегральных неравенствах, в частности, о неравенствах Рисса для перестановок функций N переменных, а также о неравенствах Юнга и Харди - Литлвуда - Соболева. Указываются точные значения констант во всех этих неравенствах и находятся экстремальные функции, для которых соответствующие неравенства обращаются в равенства. [38]
Для функций указанного класса могут быть установлены те же интегральные неравенства, какие были выведены в п 321 в предположении интегрируемости рассматриваемых функций в собственном смысле. Например, если единственной особой точкой во всех случаях является b ( которое может быть и оо), то стоит лишь написать то или иное интегральное неравенство для промежутка [ a, XQ ], где а XQ Ь, а затем перейти к пределу при XQ - Ь9 чтобы установить справедливость неравенства и для несобственных интегралов. При этом из сходимости интегралов в правой части неравенства вытекает сходимость интегралов в левой части, сходно с тем, что мы имели в 8), 375, по отношению к бесконечным рядам. [39]
Для функций указанного класса могут быть установлены те же интегральные неравенства, какие были выведены в п 321 в предположении интегрируемости рассматриваемых функций в собственном смысле. Например, если единственной особой точкой во всех случаях является Ь ( которое может быть и -), то стоит лишь написать то или иное интегральное неравенство для промежутка [ а, ха ], где а ха Ь, а затем перейти к пределу при х0 Ь, чтобы установить справедливость неравенства и для несобственных интегралов. При этом из сходимости интегралов в правой части неравенства вытекает сходимость интегралов в левой части, сходно с тем, что мы имели в 375, 8) по отношению к бесконечным рядам. [40]
Данная глава является введением в теорию неравенств различных типов и, следовательно, служит основой для исследований задач устойчивости в остальных главах. В параграфе 1.1 рассматриваются интегральные неравенства типа неравенств Гронуолла и их обобщения, приводятся основные понятия, необходимые для решения некоторых вариантов этих неравенств. Параграф 1.2 посвящен интегральным неравенствам типа неравенств Вендорфа. Здесь рассматриваются некоторые важные обобщения неравенств типа Гронуолла на многомерные интегральные неравенства. В параграфе 1.3 приводятся нелинейные интегральные неравенства сепарабельного типа, которые известны как неравенства типа Бихари, и рассматриваются несколько важных вариантов, а в параграфе 1.4 исследованы некоторые интегральные неравенства типа неравенств Бихари с несколькими независимыми переменными. [41]
В этом параграфе мы получим описание некоторых важных для дальнейшего свойств функций, следующих из интегральных неравенств, которым эти функции удовлетворяют. Такого рода неравенства обычно удается установить для решений гиперболических уравнений в результате оценок интегралов энергии. Поэтому изучение функций, удовлетворяющих интегральным неравенствам, позволяет прийти к важным заключениям о свойствах решений. В лемме 1 мы оценим максимум функции одного переменного и ее модуль непрерывности через интегралы квадратов самой этой функции и ее производной. [42]
Мы начинаем изучение теоремы единственности и теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных данных для симметрических гиперболических систем. Попутно мы получим некоторые важные оценки для решений и их производных. Все эти теоремы и оценки получаются из исследования интегралов энергии с помощью интегрального неравенства, доказанного в конце прошлого параграфа. Доказательство, которое здесь будет проводиться, предполагает неотрицательность некоторых поверхностных интегралов. [43]
Теоремы существования и единственности § 1 излагаются в различных учебниках и давно и Хорошо известны. Результат теоремы 1.3 - устойчивость генерального показателя нелинейного уравнения при нелинейных возмущениях - фактически содержится в работах Боля ( см. комментарий к гл. Более частными ( по несколько более точными) являются результаты теорем 2.1 и 3.1 ( М. Г. Крейн [2] и Лекции), Метод, приведенный во второй из них, использует интегральные неравенства ( подобный метод фактически использовал уже Боль; см. комментарий к гл. Метод доказательства теоремы 2.1 является обобщением метода Ляпунова, так же как и метод доказательства теоремы 2.2 ( см. Лекции), обобщающий другую известную теорему Ляпунова - теорему о неустойчивости. В описанных теоремах § § 2, 3 возмущающий член имеет первый порядок малости. [44]
Данная глава является введением в теорию неравенств различных типов и, следовательно, служит основой для исследований задач устойчивости в остальных главах. В параграфе 1.1 рассматриваются интегральные неравенства типа неравенств Гронуолла и их обобщения, приводятся основные понятия, необходимые для решения некоторых вариантов этих неравенств. Параграф 1.2 посвящен интегральным неравенствам типа неравенств Вендорфа. Здесь рассматриваются некоторые важные обобщения неравенств типа Гронуолла на многомерные интегральные неравенства. В параграфе 1.3 приводятся нелинейные интегральные неравенства сепарабельного типа, которые известны как неравенства типа Бихари, и рассматриваются несколько важных вариантов, а в параграфе 1.4 исследованы некоторые интегральные неравенства типа неравенств Бихари с несколькими независимыми переменными. [45]