Cтраница 2
Этот критерий позволяет свести задачу о точке равновесия к задаче решения вариационного неравенства. Действительно, пусть функционал (5.5) имеет субдифференциал по первому аргументу. [16]
Итак, полученная асимптотическая модель одностороннего дискретного контакта с линейно-деформируемым основанием сведена к вариационному неравенству (3.21), которое формулируется как задача отыскания вектора Q 0, удовлетворяющего неравенству (3.21) при любом векторе S с неотрицательными компонентами. [17]
Если оператор F удовлетворяет условиям леммы 5.3 ( 5.3), то множество решений вариационного неравенства (5.1) выпукло ( возможно, что оно пусто), а при условии Df Q и замкнуто. [18]
Конструкции итеративных аппроксимаций могут быть использованы при построении РА для отображений, связанных с вариационными неравенствами. Эти отображения возникают следующим образом. [19]
Условия, при которых справедливо сведение задачи о точке равновесия (5.3) - (5.4) к решению вариационного неравенства, уже рассматривались в § 1 гл. В этом параграфе мы предполагаем по крайней мере, что fi в (5.3) конечны, выпуклы вниз по xt и полунепрерывны по XL Этих условий достаточно для такого сведения. [20]
V, VI развивается принцип итеративной регуляризации [13] построения РА для класса нелинейных моделей, описываемых вариационными неравенствами. В частности, сюда входят все задачи выпуклой оптимизации. [21]
Как это уже отмечалось выше, в случае, когда область Q в (5.1) совпадает со всем пространством, задача решения вариационного неравенства превращается в задачу решения операторного уравнения. [22]
Можно дать другое доказательство теоремы сравнения, используя то обстоятельство, что задачи о трещинах нормального разрыва с неизвестными границами зон налегания сводятся к вариационным неравенствам. Подробно это доказательство приведено в [48], здесь наметим в методических целях его основные этапы. [23]
Другая возможность конструирования итеративных алгоритмов для решения задачи математического программирования базируется на использовании штрафных функционалов типа 5.18) и представлении области Q в виде множества решений вариационного неравенства (5.19) ( замечание 2 к лемме 5.6), Идея заключается в том, чтобы решать неравенство (5.19) каким-либо итеративным методом, основанным на принципе итеративной регуляризации. Если в качестве оператора М брать ( пусть это возможно по условиям соответствующих теорем) сам оператор F в (5.1), то итерации будут сходиться к решению основной задачи. [24]
Предмет нашего дальнейшего рассмотрения - процедура итеративной регуляризации решения неравенства (5.1), в которой итеративный шаг ( от 2Л к 2 1) делается с помощью решения вспомогательного вариационного неравенства типа (5.1), с оператором Ф, связанным с тейлоровским отрезком оператора F порядка р0 в точке гп. Все производные в дальнейшем можно понимать в смысле Гато. Мы особо останавливаемся на изучении методов с таким переходом от 2 к гп ввиду их большой универсальности и возможности при исследовании воспользоваться простейшей функцией Ляпунова U ( f x) x - xgn. Эту функцию обозначим Д, чтобы подчеркнуть ее специфический характер. [25]
Раздел книги по вариационным неравенствам был написан по материалам, любезно предоставленным автору французскими математиками Лионсом и Гловинским. Всем им автор приносит свою искреннюю благодарность. [26]
Замечание Неравенства (1.8) и (1.14), характеризующие оптимальное управление, называют вариационными. В случае вещественного гильбертова пространства вариационное неравенство допускает наглядную геометрическую интерпретацию. [27]
Далее производится обратный переход - от вариационного неравенства к локальной постановке (4.106) - (4.110), иногда называемой интерпретацией. После этого проверяется, что вариационное неравенство представляет собой необходимое и достаточное условие минимума функционала энергии на множестве полей прогибов, удовлетворяющих условию непроникания. [28]
Следует отметить, что теоремы 12.1 - 12 4 доказаны в вред-положении, что оператор / V является радиально непрерывным. Ниже будет доказана теорема об эквивалентности вариационного неравенства и задачи на минимум некоторого функционала без предположений о гладкости оператора. [29]
Вариационные неравенства являются полезным инструментом исследования экстремальных задач и в более общих ситуациях. Например, при отказе от субдифференцируемости можно записать вариационные неравенства такие, что среди их решений находятся и решения рассматриваемых экстремальных задач. [30]