Cтраница 3
Те требования на операторы F, которые мы использовали до сих пор, не обеспечивают, вообще говоря, существования и устойчивости решения (5.1) в каком-либо естественном смысле. Замечательно, однако, что если множество решений рассматриваемого вариационного неравенства не пусто, то некоторые элементы этого множества можно аппроксимировать решениями устойчивых вариационных неравенств, обладающих лучшими в некотором смысле свойствами. Точные условия такого приближения сформулированы в следующем параграфе. [31]
В приложених часто приходится иметь дело с задачами, которые приводятся к экстремальным, но на более узком множестве, чем традиционные, причем соответствующие функционалы могут не обладать гладкостью, необходимой для применения классических методов вариационного исчисления. Для исследования такого рода задач с ограничениями были привлечены так называемые вариационные неравенства, что позволило решить довольно сложные задачи механики и физики, до того не поддававшиеся решению. [32]
Как известно, эти задачи определяются соотношениями (2.1) - (2.3) и могут быть сформулированы в виде эволюционного вариационного неравенства (2.15), где опущено второе слагаемое. [33]
Оператор А, удовлетворяющий условию ( 78), называется коэрцитивным; свойство ( 80) оператора А называется монотонностью. Если при v u неравенство ( 80) является строгим, то оператор А называется строго монотонным; в этом случае решение вариационного неравенства ( 75) является единственным. [34]