Cтраница 2
Если нормализатор подгруппы D отличен от G, то N ( D) - расщепляемая группа. Она изоморфна симметрической группе подстановок четырех символов. Но это противоречит изолированности подгруппы - D, так как в 54 инвариантная 2-подгруппа не изолирована. [16]
Значит, в нормализаторе подгруппы Р существует элемент, отображающий любое упорядоченное подмножество, состоящее из t букв множества из w букв, оставляемых на месте подгруппой Р, на любое другое упорядоченное подмножество того же самого множества из w букв. Таким образом, нормализатор подгруппы Р в группе G - кратно транзитивен на множестве из w букв, инвариантных при Р - теорема доказана. [17]
Предположим, что Н содержится в нормализаторе подгруппы К. Тогда очевидно, что fif ] K - нормальная подгруппа в Я, и столь же очевидно. [18]
Предположим, что Н содержится в нормализаторе подгруппы К. Тогда очевидно, что Н К - нормальная подгруппа в / /, и столь же очевидно. [19]
G, является подгруппой группы G ( нормализатором подгруппы О), которая содержит GI в нанесшее нормального аелптеля. [20]
Безусловно, последнее справедливо, если М содержит нормализатор любой неединичной подгруппы из S. Предположим противное, и пусть Н - такая 2-локальная подгруппа в G, не лежащая в М, что Q S ( H имеет наибольший возможный порядок. [21]
Пусть G - алгебраическая редуктивная группа, определенная над полем Q рациональных чисел. Обозначим через Z ее максимальную уни-потентную подгруппу и через G нормализатор подгруппы Z в группе G. G DZ своего нормального делителя Z и редуктивной подгруппы D, все элементы которой являются полупростыми. [22]
Пусть Н - некоторая максимальная подгруппа в G: Н / е, так как G не является циклической группой. Из максимальности подгруппы Н и простоты группы G следует, что нормализатор N подгруппы Н в группе G совпадает с Н, т.е. существует / различных сопряженных с Н максимальных подгрупп. [23]
Так как здесь aw оставляет на месте каждый элемент из подгруппы Яя 1 / Яи, то и а на этой подгруппе действует тождественно. Теперь по индукции можно считать доказанным, что a принадлежит Г - нормализатору подгруппы Я. [24]
Мы воспользовались здесь дополнительным предположением, что автоморфизм f алгебры R индуцируется некоторым g e Aut) G. Как мы знаем, в условиях теории Галуа это свойство всегда имеет место, и нетрудро также понять, что группа R совпадает с нормализатором подгруппы R в группе G. При этом факторгруппа Д / й изоморфна группе автоморфизмов алгебры R. В общем случае некоторое оправдание дополнительного условия содержится в приводимом ниже предложении. [25]
Пусть L - минимальный нормальный делитель, строго содержащий К. Тогда порядок группы ЦК равен дь, где q p - Пусть Q - силовская подгруппа группы L порядка qb, и пусть Ж - нормализатор подгруппы QB G. К, является элементарной абелевой - группой. Следовательно, Т содержится Б центре С подгруппы L, который, являясь характеристической подгруппой в L, инвариантен во всей группе G. Если СК, то 1 X3 и Q - инвариантна в G, что противоречит единственности подгруппы К. Любая подгруппа, сопряженная с Q во всей группе G, содержится в L, так как L - нормальный делитель. [26]
Так как подгруппа А содержит подгруппу К и так как L - изолятор подгруппы К, то изолятор подгруппы А совпадает с L. Так как N ( А) с: N ( L), то подгруппа L отлична от своего нормализатора, что невозможно, ибо L как подгруппа содержащая нормализатор сияовской подгруппы &, должна совпадать со своим нормализатором. Следовательно, подгруппа Ь совпадает со своим нормализатором. [27]
Кроме того, D как истинная подгруппа в Q строго содержится и своем нормализаторе q в Q. AJ ( sl) - подгруппы, сопряженные с Л в Л о. Нормализатор УУЯ подгруппы Л / содержит ND, так как элементы из i D трансформируют И в себя. [28]
Доказательство, Будем считать, что G - 1 и факторгруппы G jG и G jG e цикличны. О является нормализатором подгруппы G, а фактор-группа G / ZU, где Zb - централизатор О, изоморфна группе автоморфизмов циклической группы и потому абелева. G получается присоединением к G одного элемента. Следовательно, подгруппа G абелева, откуда G l, что и требовалось доказать. [29]
Особенно интересны те из них, которые представлены сильно вещественными элементами - так называются элементы, инвертируемые какой-нибудь инволюцией из G. Сильно вещественные элементы распадаются на п непересекающихся множеств, соответствующих некоторым абелевым подгруппам в С. С каждой из этих подгрупп можно связать определенное число Wi исключительных характеров группы G, причем wi определяется из нормализатора соответствующей абеле-вой подгруппы. [30]