Cтраница 3
Если же подгруппаNG ( R) имеет нечетный порядок, то ока разрешима. Из изолированности подгруппы Р0 в NG ( R) получаем, что в фактор-группе NG ( R) / R все силовские подгруппы - циклические и NG ( R) / R RX / R P0 / R - группа Фробениуса. Подгруппа R - X инвариантна и изолирована в нормализаторе подгруппы R. Поэтому R-X нильпотентна, что противоречит существованию в ней собственной изолированной подгруппы. [31]
Пусть т 1 и р - простое число, которое делит гп. Все силовские подгруппы S группы G содержатся в К, так как К - инвариантная подгруппа, содержащая по меньшей мере одну силовскую подгруппу S, а все силовские р-подгруппы сопряжены. Таким образом, число силовских подгрупп Sf) в группе G равно их числу в группе К. Значит, в силу теоремы 1.6.1, [ О: / VG ( S) ] [ K: ЛГ ( 5Д откуда [ / VG ( Sp): NK ( Sp) [ G K ] n, где No ( Sp) и NK ( Sp) - нормализаторы подгруппы S соответственно в группах G и К. [32]
Соответствие Галуа позволяет определить операции замыкания ( замыкание Галуа) как в действующей группе, так и в области действия. Делается это следующим образом. Из приведенных выше свойств функций 5 и Z непосредственно следует, что 2 С Е, Я С Я, Е - подгруппа в Г, Я - подсистема в G, E E. Следовательно, замыкание нормального делителя из Г также является нормальным делителем, и замыкание допустимой подсистемы в G есть допустимая подсистема. Непосредственно получается и следующее утверждение: всякая замкнутая подсистема Я С G допустима относительно нормализатора подгруппы 5Г ( Я), и этот нормализатор совпадает с совокупностью всех у Г, для которых Яоу Я. [33]