Cтраница 2
Собственные векторы определены неоднозначно, поскольку любой вектор из нуль-пространства матрицы А - Я / ( которое мы называем собственным пространством, соответствующим К) является собственным вектором, и поэтому нам нужно ввести в этом пространстве базис. [16]
Число нулевых элементов главной диагонали матрицы D равно размерности нуль-пространства матрицы ТК. [17]
Упражнение 2.4.1. Верно ли такое утверждение: если т п, то нуль-пространство матрицы А равно ее левому нуль-пространству. [18]
Теперь оба закона могут быть сформулированы очень коротко: вектор 1 принадлежит нуль-пространству матрицы М, а вектор Е принадлежит ее пространству строк. [19]
Упражнение 2.6.6. Показать на примере, что нуль-пространство матрицы АВ может не содержать нуль-пространство матрицы А, а пространство столб - UOh матрицы АВ может не содержаться в пространстве столбцов матрицы В. [20]
Так как матрица, соответствующая трехчлену, содержит очень ] мало единиц, то базис нуль-пространства матрицы fi - J удобно определять с помощью методов, описанных в разд. Это значительно облегчает разложение двоичных трехчленов по сравнению с произвольными двоичными многочленами. [21]
Геометрически получается следующая картина: в четырехмерном пространстве решения системы Л г 0 образуют двумерное подпространство - нуль-пространство матрицы А. Читатель не должен требовать четырехмерной картинки. Линейные комбинации этих двух векторов образуют множество, которое замкнуто относительно сложения и умножения на скаляры, так как эти операции попросту приводят к другим комбинациям тех же самых двух векторов, и все эти комбинации составляют нуль-пространство исходной матрицы. [22]
Любое начальное состояние, не принадлежащее нуль-пространству матрицы Q, вырабатывает ненулевую реакцию, показывающую, что нуль-пространство матрицы Q является подпространством невосстанавливаемых состояний. [23]
Упражнение 2.4.5. Показать, что если ироизведение двух матриц А и В равно нулевой матрице ( Л5 0), то пространство столбцов матрицы В содержится в нуль-пространстве матрицы А. [24]
В терминах подпространств это означает, что либо b находится в пространстве столбцов матрицы Л, либо он имеет ненулевую компоненту, лежащую в ортогональном подпространстве, которое является х левым нуль-пространством матрицы А. [25]
Но - нулевой вектор бесполезен при построении решения и ( t) из экспонент емх. Нуль-пространство матрицы А - Я7 имеет смысл рассматривать только тогда, когда оно содержит некоторый ненулевой вектор, и поэтому ранг этой матрицы должен быть меньше, чем ее порядок. Другими словами, матрица А-KI должна быть вырожденной. Критерий вырожденности дается определителем матрицы. [26]
Решение существует для любой правой части Ъ тогда и только тогда, когда г т; в этом случае матрица U не имеет нулевых строк и система Ux - c может быть решена с помощью обратной подстановки. Если существует одно решение системы Ах Ь, то любое другое решение этой же системы отличается от первого на вектор из нуль-пространства матрицы А. [27]
Система Лх 0 редуцировалась к системе Ux Q, и этот процесс обратим. Следовательно, нуль-пространство матрицы А совпадает с нуль-пространством матрицы U. Среди m ограничений, налагаемых т уравнениями Лх 0, только г линейно независимы. Они выражаются любыми г линейно независимыми строками матрицы Л, или г ненулевыми строками матрицы V. Если мы воспользуемся последним замечанием, получим вполне определенный способ нахождения базиса нуль-пространства. [28]
Система Лх 0 редуцировалась к системе Ux Q, и этот процесс обратим. Следовательно, нуль-пространство матрицы А совпадает с нуль-пространством матрицы U. Среди m ограничений, налагаемых т уравнениями Лх 0, только г линейно независимы. Они выражаются любыми г линейно независимыми строками матрицы Л, или г ненулевыми строками матрицы V. Если мы воспользуемся последним замечанием, получим вполне определенный способ нахождения базиса нуль-пространства. [29]
Некоторые матрицы с кратными собственными значениями могут быть приведены к диагональному виду ( например, Л 7), другие-нет. Единственный тест состоит в вычислении всех собственных векторов и определении, достаточно ли их. Но если собственное значение К повторяется т раз, то все определяется нуль-пространством матрицы А - Я /; К проходит тест только в том случае, когда есть т соответствующих собственных векторов. Когда все собственные значения пройдут тест, мы будем иметь полный набор собственных векторов и А может быть диагонализована. [30]