Cтраница 2
Очевидно, чтобы сохранить непрерывность отображения, мы должны соединить соседние листы, склеивая нижний берег разреза k - то листа с верхним берегом разреза ( k 1) - го листа. При этом остаются свободными верхний берег разреза 1-го и нижний берег разреза n - го листов. Пусть точка z совершит на плоскости z полный оборот вокруг точки z 0, последовательно пройдя через все п секторов этой плоскости, начиная с первого сектора, и вернется к своему первоначальному положению. Тогда соответствующая ей точка w пройдет п листов, и, чтобы она вернулась на первый лист, надо склеить остававшиеся свободными берега разрезов на 1 - м и n - м листах. Тем самым полной плоскости z функция w zn ставит в соответствие п листов плоскости w, склеенных указанным выше образом. Такое геометрическое многообразие представляет собой частный случай так называемой римановой поверхности. Функция w zn является п-листной функцией. [16]
Разрез по положительной части вещественной оси плоскости t перешел в раз-рез - по отрицательной части вещественной оси плоскости т, причем нижний берег нового разреза соответствует верхнему берегу прежнего разреза. [17]
Ясно, что наша поверхность х2 - - у2 с топологически устроена как объединение двух экземпляров плоскости комплексного переменного х разрезанной вдоль отрезка между точками ветвления, при склеивании верхнего берега разреза на каждом экземпляре с нижним берегом на другом. Топологически эта поверхность есть цилиндр. [18]
Ясно, что наша поверхность х2 - f - у2 - с топологически устроена как объединение двух экземпляров плоскости комплексного переменного х, разрезанной БЛС-ГЬ отрезка между точками ветвления, при склеивании верхнего берега разреза на каждом экземпляре с нижним берегом на другом. [19]
Здесь h ( оо) в в - Ч qi A argz, p2 AYiarg ( z - 1), у, - кривая ( рис. 74), соединяющая точку верхнего берега разреза с точкой х0 1 действительной оси. [20]
Действительно, достаточно оценить интеграл ( 14), деформировав контур в нижний берег разреза по отрицательной части действительной оси от - оо до - р, на окружность радиуса р с центром в нуле и на верхний берег разреза от - р до - оо. [21]
Таким образом, функция w ег, однолистная в полосе 0 С Im 2 2я, отображает эту полосу на плоскость с разрезом по лучу [ 0, оо) так, что нижний край полосы переходит в верхний берег разреза, а верхний край полосы - в нижний берег разреза. [22]
Аналогично можно показать, что полоса D2: 2я Im z 4я отобразится функцией w ег на плоскость с разрезом по лучу [ О, - - оо) так, что нижний край полосы D2 перейдет в верхний берег разреза, а верхний край полосы - в нижний берег разреза. [23]
Граничная кривая Г этой области состоит из следующих частей: отрезок [ О, 1 ] проходимый от точки 21 до точки 2 0 - нижний берег разреза; отрезок [ О, 1 ], проходимый от точки 2 0 до точки 21 - верхний берег разреза; окружность г 1, проходимая против часовой стрелки один раз. [24]
Так как / o ( z) отображает на верхнюю полуокружность нижний берег отрезка - 1, 1 ], a / i ( z) верхний, то мы дол / кны склеить между собой нижний берег разреза на листе Z) 0 и верхний берег разреза на листе DI. То же самое нужно сделать с верхним берегом разреза па Z) 0 и нижним па DI, которые отображаются на нижнюю полуокружность. [25]
В пределе при г - 1 для случая г 1 единичная окружность перейдет в тот же разрез ( - 1, 1) оси Ои плоскости w, но теперь для сохранения однозначности и непрерывности отображения точкам верхней полуокружности г 1 мы должны поставить в соответствие точки нижнего берега разреза, а точкам нижней полуокружности г 1 - точки верхнего берега разреза. [26]
Очевидно, чтобы сохранить непрерывность отображения, мы должны соединить соседние листы, склеивая нижний берег разреза k - то листа с верхним берегом разреза ( k 1) - го листа. При этом остаются свободными верхний берег разреза 1-го и нижний берег разреза n - го листов. Пусть точка z совершит на плоскости z полный оборот вокруг точки z 0, последовательно пройдя через все п секторов этой плоскости, начиная с первого сектора, и вернется к своему первоначальному положению. Тогда соответствующая ей точка w пройдет п листов, и, чтобы она вернулась на первый лист, надо склеить остававшиеся свободными берега разрезов на 1 - м и n - м листах. Тем самым полной плоскости z функция w zn ставит в соответствие п листов плоскости w, склеенных указанным выше образом. Такое геометрическое многообразие представляет собой частный случай так называемой римановой поверхности. Функция w zn является п-листной функцией. [27]
Так как / o ( z) отображает на верхнюю полуокружность нижний берег отрезка - 1, 1 ], a / i ( z) верхний, то мы дол / кны склеить между собой нижний берег разреза на листе Z) 0 и верхний берег разреза на листе DI. То же самое нужно сделать с верхним берегом разреза па Z) 0 и нижним па DI, которые отображаются на нижнюю полуокружность. [28]
Риманова поверхность функции (6.60) представляет собой двулистную поверхность, составленную из двух экземпляров плоскости w, разрезанной вдоль отрезка [-1,1] действительной оси. Нижний берег разреза одного листа склеен с верхним берегом разреза другого листа, и наоборот. Функция (6.60) является однозначной аналитической функцией на своей римановой поверхности, имеющей две точки разветвления w 1, при обходе каждой из которых происходит переход с одного листа этой римановой поверхности на ее другой лист. [29]
Если угол X, показанный на рис. 1, устремить к нулю, то линии ветвления расположатся на вещественной оси. При этом соотношения (1.15) останутся справедливыми, если условиться, что вещественная ось при о - k проходит по верхнему берегу разреза, а при о & - по нижнему берегу разреза. [30]