Cтраница 3
Применим теперь принцип симметрии. Из него следует, что наша функция г отобразит взаимно однозначно и конформно всю внутреннюю область гиперболы на плоскость г, разрезанную по действительной оси от - 2 дс - со, причем верхний берег разреза будет соответствовать верхней дуге гиперболы, нижний - нижней дуге. [31]
Применим теперь принцип симметрии. Из него следует, что наша функция г отобразит взаимно однозначно и конформно всю внутреннюю область гиперболы на плоскость г, разрезанную по действительной оси от - 2 до - оо, причем верхний берег разреза будет соответствовать верхней дуге гиперболы, нижний - нижней дуге. [32]
Тем самым мы получаем бесконечный набор различных экземпляров плоскости эд, разрезанной по положительной части действительной оси и. Чтобы непрерывному движению точки z на плоскости z, при котором она переходит из одной полосы в другую, отвечало непрерывное движение ги, соответствующие экземпляры ( листы) плоскости w должны быть соединены между собой, причем, очевидно, верхний берег разреза n - го листа должен быть соединен с нижним берегом разреза ( п - 1) - го листа и нижний берег разреза п-го листа - соединен с верхним берегом разреза ( п 1) - го листа. Полученное геометрическое многообразие образует бесконечно-листную риманову поверхность. [33]
Тем самым мы получаем бесконечный набор различных экземпляров плоскости эд, разрезанной по положительной части действительной оси и. Чтобы непрерывному движению точки z на плоскости z, при котором она переходит из одной полосы в другую, отвечало непрерывное движение ги, соответствующие экземпляры ( листы) плоскости w должны быть соединены между собой, причем, очевидно, верхний берег разреза n - го листа должен быть соединен с нижним берегом разреза ( п - 1) - го листа и нижний берег разреза п-го листа - соединен с верхним берегом разреза ( п 1) - го листа. Полученное геометрическое многообразие образует бесконечно-листную риманову поверхность. [34]
Таким образом, проводя разрез от 0 к - J - оо, мы получаем область, где функция ( 100) однозначна, но для того чтобы иметь все значения этой функции, надо считать ее за две различные функции, определенные в областях 7t и Г2 так, как это мы делали выше. Такое разбиение функции ( 100) на две отдельные однозначные функции представляется искусственным, и мы свяжем сейчас эти две функции в единую аналитическую функцию, однозначную и регулярную на некоторой двулистной плоскости. Для того чтобы создать эту двулистную плоскость Т, наложим экземпляр Т на экземпляр Га и соединим мысленно берега разрезов этих двух экземпляров крест-накрест, а именно: верхний берег разреза на 7t соединим с нижним на Гз и наоборот. [35]
Мы видим таким образом, что, проводя разрез от 0 к - - оо, мы получаем область, где наша функция ( 100) однозначна, но для того чтобы иметь все значения этой функции, нам надо считать ее за две различные функции, определенные в областях Т и Т2 так, как это мы делали выше. Такое разбиение функции ( 100) на две отдельные однозначные функции представляется искусственным, и мы свяжем сейчас эти две функции в единую аналитическую функцию, однозначную и регулярную на некоторой двулистной плоскости. Для того чтобы создать эту двулистную плоскость Т, наложим экземпляр 7 на экземпляр Г2 и соединим мысленно берега разрезов этих двух экземпляров крест-накрест, а именно: верхний берег разреза на Т1 соединим с нижним на Г2 и наоборот. [36]
Функция Zjx ( Z) определена в треугольнике ЛВС и принимает на стороне АВ действительные значения. Ее можно продолжить помощью сопряженных значений и определить в треугольнике ( 7), или ABCV симметричном для ( 7) относительно АВ. Так получаем функцию, определенную в основном четырехугольнике ( QJ и дающую конформное отображение этого четырехугольника на плоскость переменного Z. Итак, четырехугольник отображен конформно на плоскость Z, снабженную разрезами по лучам / / и / / /: верхним берегам разрезов соответствуют стороны ВС и СЛ, нижним берегам - стороны BCt и С А. [37]
При г - 1 эллипс (6.58) вырождается в отрезок [-1,1] действительной оси и, проходимый дважды. При ri - 0 эллипс (6.58) переходит в окружность бесконечно большого радиуса. Тем самым функция (6.58) производит конформное отображение области внутри единичного круга z 1 на плоскости z на плоскость w, разрезанную по отрезку [-1,1] действительной оси. Граница области - окружность z 1 - отображается на этот отрезок, причем верхняя полуокружность отображается на нижний, а нижняя - на верхний берег разреза. Аналогично область z 1 вне единичного круга на плоскости z отображается на второй экземпляр плоскости и. Im z 0, отображается на верхний берег, а нижняя полуокружность 1, Im z 0 - на нижний берег разреза. [38]