Cтраница 3
Для линейного однородного уравнения с отклоняющимся аргументом вопрос о слипании двух различных решений эквивалентен вопросу о слипании нетривиального решения с тривиальным. Интервал ( a JP), принадлежащий области определения решения х ( t) линейного однородного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом, будем называть интервалом слипания, соответствующим решению х ( t), если решение х ( t) на этом интервале слипается с тривиальным решением. [31]
В самом деле, предположим, что в области определения решения имеется точка разрыва коэффициентов. [32]
Особенность в точке А ( если она существует) - типа Прандтля-Майера. Это означает, что в сверхзвуковой части плоскости годографа область определения решения ограничена некоторой эпициклоидой, на которой функция тока постоянна. [33]
В современной математике существует подход к решению некорректных в классическом смысле, но условно корректных задач, и разработаны соответствующие вычислительные алгоритмы. Однако вычисления могут быть произведены только с некоторой конечной точностью, которая зависит от типа уравнения ( особенно если оно вырождается), размеров и формы области определения решения и от разрядности компьютера. [34]
Значение определяется: а) начальным распр делением в области гладкости; б) расчетом распада разрыва ( задача Римана); в) граничным услов ем, когда характеристика направлена внутрь области определения решения. [35]
Приступая к рассмотрению многомерных задач математической физики, с самого начала следует отметить, что проблема аппроксимации таких задач представляет собой задачу нетривиальную. Если граница области определения решения гладкая и достаточную гладкость имеют функции, заданные на границах, то второй порядок аппроксимации уравнения и граничных условий при наличии устойчивости будет гарантировать второй порядок точности решения. Если, однако, либо граница области, либо функции, заданные на границах, оказываются негладкими, то в решении задачи в окрестности особых точек возникают весьма существенные погрешности. Тогда, как хорошо известно, в окрестности угловых точек в задачах с эллиптическими операторами обычно возникают особенности либо логарифмического, либо дробного характера. Поэтому равномерная сетка и второй порядок аппроксимации задачи по обеим переменным внутри области еще не обеспечивает решения задачи со вторым порядком точности. В таких случаях используют либо метод сгущения сеток в окрестности особенностей решений, либо метод предварительного выделения особенностей с последующим численным решением регулярной задачи, уже обеспечивающим второй порядок точности. Заметим, однако, что при определенной согласованности граничных условий и правой части уравнения в особых точках границы решение может оказаться гладким, и в этом случае дополнительных проблем аппроксимации уже не возникнет. [36]
Тонкостенные элементы конструкций многих приборов, аппаратов и машин подвергаются локальному двустороннему или одностороннему тепловому воздействию. При этом коэффициент теплоотдачи с их боковых поверхностей с достаточной степенью точности может быть аппроксимирован кусочно-постоянной функцией координат В настоящей главе методом И. Образцова и Г. Г. Онанова [117] строятся единые для всей области определения решения одномерных и двумерных стационарных задач теплопроводности и соответствующих статических задач термоупругости для пластинок и цилиндрических оболочек, коэффициенты теплоотдачи с боковых поверхностей которых - кусочно-постоянные функции одной переменной На примере одномерной задачи показывается, что при локальных тепловых воздействиях по областям, размеры которых одного порядка с толщиной тонкостенных элементов, оправданным является введение интегральных характеристик по областям нагрева, С помощью метода интегральных характеристик находится решение двумерной квазистационарной задачи теплопроводности и соответствующей задачи термоупругости для пластинки, подвергнутой двустороннему локальному нагреву движущейся прямоугольной областью, размеры которой соизмеримы с толщиной пластинки. Из проведенных численных исследований вытекает, что рост теплоотдачи с поверхностей вне области локального нагрева приводит к уменьшению температурных напряжений в пластинках. [37]
Интересные результаты общего характера в теории гиперзвуковых течений газа, нашедшие применение при исследовании течений в соплах и струях, были получены М. Д. Ладыженским ( 1960, 1962), который вывел) упрощенную систему уравнений установившегося изоэнергетического-гиперзвукового течения, пренебрегая местным значением величины 1 / М2 по сравнению с единицей. Из этих уравнений, как частный случай при малом изменении направления скорости в поле течения, следуют уравнения теории гиперзвукового обтекания тонких тел. В общем случае Ладыженский рассмотрел задачу Коши для полученной им системы уравнений и показал, что при соблюдении некоторых условий область определения решения по начальным данным, заданным на конечном отрезке, становится бесконечной. При этом асимптотически течение стремится к течению от плоского или осесимметричного источника, но с переменной ( в общем случае) интенсивностью от луча к лучу. [38]
Напомним ( см. § 9), что предельной линией называется край складки отображения плоскости годографа в физическую плоскость; она может возникать, когда решение первоначально строится в плоскости годографа, а лишь затем находится его образ в плоскости течения. В силу нелинейности уравнений, предельная линия в общем случае не будет характеристикой: она является огибающей характеристик одного семейства и множеством точек возврата характеристик другого семейства. Характеристика может быть предельной линией, если она несет разрыв первых производных поля скоростей. В принципе может возникнуть ситуация, когда характеристика является одновременно и линией ветвления и предельной линией; в этом случае якобиан отображения при переходе через характеристику не изменяет знак, хотя область определения решения в плоскости годографа двулистна; двулистным будет и отображение в физическую плоскость. Пример такого течения приводится в гл. [39]
Проблема интерполяции данных, заданных на дискретном множестве точек, на всю область определения функции непрерывного аргумента тесно связана с построением вариационно-разностных схем и непрерывного представления решений разностных задач. В самом деле, при построении разностных уравнений, как правило, осуществляется процесс дискретизации оператора и решения задачи с помощью подходящих методов проектирования. При этом решение разностной задачи обычно представляет собой приближенное решение исходной задачи на дискретном множестве точек. Предположим, что разностная задача решена и мы располагаем информацией о приближенном решении задачи. Дальнейшая задача связана с интерполяцией полученных данных на всю область определения решения исходной задачи. Естественно, что при такой интерполяции должны быть соблюдены некоторые условия, а именно: если решение разностного уравнения получено с определенной степенью точности, то порядок интерполяции данных должен быть согласован с порядком аппроксимации разностного уравнения и быть не ниже последнего. [40]