Cтраница 3
Пусть например точка х расположена в области, соседней с областью гиперболичности. Hn ( Ac S ( x)), где х принадлежит новой компоненте дополнения к АС), интересен еще один очень похожий на него элемент Д () этой же группы, который получается следующим образом. Мы считаем что х находится очень близко к стенке, отделяющей нашу компоненту от области гиперболичности; пусть х - точка в области гиперболичности, находящаяся очень близко к х с другой стороны от этой стенки. Тогда их группы гомологии, содержащие интересующие нас циклы интегрирования, естественно отождествляются. Это отождествление называется гомологической связностью Гаусса-Манина над нашей дугой. Искомый элемент Д ( х) получается при этом отождествлении из вещественного цикла Д ( х) где х - точка из области гиперболичности. Нетрудно проверить, что результат не будет зависеть от того, какую из двух существенно различных дуг, обходящих в нашей прямой дискриминантную точку, соответствующую пересечению с АС, мы будем использовать. [31]
В каждой области можно применять разностную схему, пригодную для классич. Одним из наиболее распространенных методов дискретного представления классич. Этот метод используется только для решения задач газовой динамики, описываемых гиперболич. Метод характеристик появился в газовой динамике сравнительно давно и с успехом применялся для расчета одномерных нестационарных течений с небольшим количеством особенностей, а также расчета двумерных стационарных течений в области гиперболичности уравнений. В расчетах используются также и модификации метода характеристик, в к-рых расчет ведется по слоям, ограниченным фиксированными линиями. В случае двух независимых переменных ( одномерные нестационарные задачи или двумерные стационарные задачи, сверхзвуковое обтекание) метод характеристик дает возможность избежать интерполяций и тем самым эффектов сглаживания и ап-проксимационной вязкости. Он позволяет точно определять место возникновения ударных волн внутри поля течения как результат пересечения характеристик одного семейства. При большом количестве неизвестных и независимых переменных начинают появляться недостатки этого метода: возникает аппроксимационная вязкость, при наличии большого числа особенностей алгоритм становится логически сложным. Существенным недостатком метода характеристик является также ограничение на шаг сетки, связанное с критерием устойчивости Куранта, и нестрогое выполнение законов сохранения. Поэтому методом характеристик целесообразно рассчитывать задачи, в к-рых число разрывов невелико. Для метода характеристик доказана сходимость его решения к решению исходной дифференциальной задачи в случае достаточно гладких течений. С развитием ЭВМ, способных решать сложные логические задачи, метод характеристик будет использоваться более эффективно. [32]
Для первой точки есть не более d вариантов, куда она может перейти: это все точки пересечения соответствующей прямой с АС. Интегралы по окружностям, обходящим вокруг этих точек пересечения, дают не более чем rf - значную аналитическую функцию. Интегралы по окружностям, соответствующим точкам пересечения с другой прямой, тоже дают не более чем rf - значную функцию. Всего получаем не более чем я ( 2-значную функцию. Это означает, что в области множества М2 Л, соседней с областью гиперболичности, сила притяжения совпадает с аналитической вектор-функцией, аналитическое продолжение которой не более чем я ( 2-значно. Эта функция имеет не более чем степенной рост при приближении к особым точкам, поэтому она совпадает с некоторой алгебраической функцией. [33]
Пусть например точка х расположена в области, соседней с областью гиперболичности. Hn ( Ac S ( x)), где х принадлежит новой компоненте дополнения к АС), интересен еще один очень похожий на него элемент Д () этой же группы, который получается следующим образом. Мы считаем что х находится очень близко к стенке, отделяющей нашу компоненту от области гиперболичности; пусть х - точка в области гиперболичности, находящаяся очень близко к х с другой стороны от этой стенки. Тогда их группы гомологии, содержащие интересующие нас циклы интегрирования, естественно отождествляются. Это отождествление называется гомологической связностью Гаусса-Манина над нашей дугой. Искомый элемент Д ( х) получается при этом отождествлении из вещественного цикла Д ( х) где х - точка из области гиперболичности. Нетрудно проверить, что результат не будет зависеть от того, какую из двух существенно различных дуг, обходящих в нашей прямой дискриминантную точку, соответствующую пересечению с АС, мы будем использовать. [34]