Cтраница 3
В статье приведены новые доказательства известных утверждений о сходимости мартингалов с дискретным параметром. Эти доказательства не используют традиционной техники, связанной с понятием марковского момента, и, следовательно, доступны для читателей со скромной математической подготовкой. Специалистам, возможно, будут интересны обобщения максимального неравенства Колмогорова и разложение обращенного субмартингала в сумму обращенного мартингала и обращенной предсказуемой последовательности. Последнее утверждение является аналогом известной теоремы Дуба о разложении субмартингала. [31]
R, заключен между двумя пределами, которые зависят только от значения функции в центре круга и числа - ft, представляющего отношение радиусов наружного и внутреннего кругов. В этом и будет заключаться нужное нам обобщение неравенства Шоттки. [32]
Теория разностных неравенств рассматривается в параграфе 1.9, где среди других неравенств приводятся дискретные варианты неравенств Бихари и Гронуолла. Параграф 1.10 посвящен изучению ин-тервальнозначных интегральных неравенств. Здесь использовано существенное преимущество интервальных отображений, а именно свойство монотонного включения. В качестве побочного результата получено обобщение неравенства Гронуолла па случай интервальных отображений. В § 1.11 рассматривается обобщение некоторых классических результатов о неравенствах для кусочно-непрерывных функций. В заключительном § 1.12 приведены основные результаты метода равнения для диффузионных процессов. [33]
После отрезка простейшим из них является окружность. В другой терминологии мы получаем в этом случае проблему моментов для периодической Г - системы. Однако для этого случая удалось получить только частичное обобщение неравенств Чебышева - Маркова. Предложения § 8, являются обобщениями известных результатов Каратеодори - Теплица - Рисса - Херглотца для тригонометрической проблемы моментов и соответствующих классов, функций; эти результаты здесь получаются в качестве иллюстраций. [34]
Предложенный метод может быть использован для достаточно широкого класса задач при построении управления различными объектами, о структуре и параметрах объекта, возмущениях внешней среды. При этом цель управления может быть сведена к достаточно общему виду фазовых ограничений. Данный класс задач особенно характерен при разработки и формировании интеллектуальных систем управления когда необходима быстрая обработка информации, выработка управления в реальном режиме времени. При чем в этих задачах возможна неопределенность по цели. Рассмотренный метод позволяет учитывать и ее. Необходимо также отметить, что полученные соотношения метода (6.644), (6.652) могут быть эффективно реализованы на основе известных численных процедур, в том числе и параллельных алгоритмов. Возможен дальнейший анализ и обобщение неравенств (6.644), (6.652) с целью упрощения и расширения их решения. Неравенства (6.644), (6.652) могут использоваться при выработке алгоритмов управления. Поскольку полученные соотношения допускают геометрическую интерпретацию с помощью кругов Гершгорина, то они оказываются удобными в инженерных расчетах. [35]