Cтраница 3
В любом ЛТП замыкание выпуклого множества выпукло, откуда ясно, что замыкание выпуклой оболочки любого множества X есть наименьшее замкнутое выпуклое множество, содержащее X. Его называют замкнутой выпуклой оболочкой множества X. Вместе с тем выпуклая оболочка даже замкнутого множества может оказаться незамкнутой. [31]
Из теоремы 3, используя теорему 1.4, получаем Следствие. В квазиполном ЛВП замкнутая выпуклая оболочка и замкнутая абсолютно выпуклая оболочка любого предком-пактного множества компактны. [32]
Тогда множество К совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой своих экстремальных точек. [33]
Пусть X - такое топологическое векторное пространство, что X разделяет точки в X. Тогда всякое компактное выпуклое подмножество / СсХ совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества своих крайних точек. [34]
Эта теорема в бесконечномерном случае неверна. Если Е - пространство Банаха, то имеет место следующая теорема: замкнутая выпуклая оболочка У. А) компактного подмножества компактна. Отметим также, что даже в конечномерном случае выпуклая оболочка замкнутого множества не обязательно замкнута. [35]
Существование будет доказано лишь в довольно частном случае ( достаточном, однако, для многих приложений), когда пространство Q компактно, а функция / непрерывна. В этом случае множество / ( Q) компактно, и единственное дополнительное условие, которое мы наложим, состоит в том, что замкнутая выпуклая оболочка этого множества тоже должна быть компактной. По теореме 3.25 это дополнительное условие автоматически выполняется, если Х - - пространство Фреше. [36]
Выпуклая оболочка множества 8 совпадает с множеством выпуклых комбинаций точек ха, ха... Замкнутая выпуклая оболочка совпадает с замыканием выпуклой оболочки. Выпуклое множество S называется телом, если оно имеет внутренние точки. [37]
Тогда замкнутая выпуклая оболочка множества supp ( X У) совпадает с вектор-ной суммой замкнутых выпуклых оболочек множеств supp X a supp У. [38]
Пусть множество / ( с / 2 состоит из элементов 0, Arlt дг2, х3, Доказать, что К компактно. Поэтому и формулировке теоремы 2.9 условие выпуклости / ( не может быть опущено. Показать, что х принадлежит замкнутой выпуклой оболочке множества К ( которая, по определению, представляет собой замыкание выпуклой оболочки 11 что множество Л х не ограничено. [39]
Тогда dom ( IK) К, и 1К выпукла тогда и только тогда, когда К выпукло, & 1К - п.н.с. в том и только том случае, когда К замкнуто. Легко видеть, что Г - регуляризация функции 1К есть индикаторная функция замкнутой выпуклой оболочки множества К. [40]
Тогда замкнутая выпуклая оболочка множества supp ( X У) совпадает с вектор-ной суммой замкнутых выпуклых оболочек множеств supp X a supp У. [41]
Пусть X - вещественное отделимое локально выпуклое пространство и Q - выпуклое множество в X. Точка х е Q называется крайней ( или экстремальной) для Q, если из равенства х ау ( 1 - а) г для некоторого а, удовлетворяющего неравенству О - a l, и некоторых у, z Q следует, что х совпадает с у или с г. Другими словами, х - концевая точка любого отрезка, ее содержащего и целиком лежащего в Q. Теорема Крейна - Мильмана ( теорема 10.1.2) утверждает, что компактное выпуклое множество Q является замкнутой выпуклой оболочкой множества своих крайних точек. [42]
Локально выпуклые топологии и полунормы. Например, пусть задана окрестность U. Из определения локально выпуклого пространства следует существование такой выпуклой окрестности нуля t / 2, что 1 / 2 с: U. Тогда замкнутая выпуклая оболочка окрестности f / 3 содержится в U и, конечно, является окрестностью нуля. [43]
Легко проверить, что рассматриваемое множество является выпуклым конусом. Для данного t О множество всех h, таких, что х И 6 А, есть замкнутое множество. Следовательно, А содержит замкнутую выпуклую оболочку множества, состоящего из у и этой полупрямой. [44]