Cтраница 2
Обратимся к доказательству кругового свойства дробно-линейного отображения, выражающегося в том, что образом прямой или окружности при отображении w L ( z) является прямая или окружность, причем образом прямой могут быть и прямая и окружность, точно так же как и образом окружности могут быть прямая и окружность. [16]
I точки М ( прямой /) при отображении а; далее, образом прямой р0 связки S, лежащей в плоскости тс0, очевидно, служит прямая p Q связки S, параллельная прямым р плоскости тс, являющимся образами прямых р плоскости тс, параллельных прямой р0; наконец, образом плоскости тс0 очевидно, служит плоскость Тед. Но ясно, что, и обратно, определив описанным способом отображение связки 5 на связку S, мы действительно получим проективное отображение связки 5 на связку S, индуцирующее заданное аффинное отображение о плоскости тс на плоскость тс; а из сказанного выше видно, что это проективное отображение Е единственно. Тем самым и вторая часть нашего утверждения доказана. [17]
По определению образы прямых - прямые, а из взаимной однозначности аффинного преобразования следует, что образы непересекающихся прямых не пересекаются. [18]
Из уравнения (12.11) следует, что lgt является линейной функцией от lg С и что угол наклона полученной таким образом прямой дает значение показателя концентрации. [19]
Обратимся к доказательству кругового свойства дробно-линейного отображения, выражающегося в том, что образом прямой или окружности при отображении w L ( z) является прямая или окружность, причем образом прямой могут быть и прямая и окружность, точно так же как и образом окружности могут быть прямая и окружность. [20]
Следует подчеркнуть, что граф на рис. 92 представляет собой двойную диаграмму конфигурации: при истолковании отношения инцидентности с помощью ребер, считая один из концов ребра образом точки конфигурации, следует считать другой конец образом прямой. [21]
I точки М ( прямой /) при отображении а; далее, образом прямой р0 связки S, лежащей в плоскости тс0, очевидно, служит прямая p Q связки S, параллельная прямым р плоскости тс, являющимся образами прямых р плоскости тс, параллельных прямой р0; наконец, образом плоскости тс0 очевидно, служит плоскость Тед. Но ясно, что, и обратно, определив описанным способом отображение связки 5 на связку S, мы действительно получим проективное отображение связки 5 на связку S, индуцирующее заданное аффинное отображение о плоскости тс на плоскость тс; а из сказанного выше видно, что это проективное отображение Е единственно. Тем самым и вторая часть нашего утверждения доказана. [22]
Из только что установленных свойств следует, что, если для всякой прямой г, проходящей через точку О, проведены с той и другой стороны параллельные ей прямые, находящиеся от О на расстоянии р X У 1Г, где А есть произвольный постоянный коэффициент пропорциональности, то огибающая полученных таким образом прямых будет эллипсом е, гомотетичным J) эллипсу е отношение гомотетии ( отношение подобия) между эллипсами е я. [23]
Статс-конторы, на первый случай, из вычтенных у штатских чинов в Санкт-Петербурге на гошпиталь ста рублей, также и впредь таковых нищих имея, представлять в Сенат и определять в помянутые прежние и кои построятся вновь богадельни с смотру Сенатского, а без Сенатского смотру никого в богадельни не определять, дабы под образом прямых нищих не введены были такие, коим быть не надлежит, а особливо тунеядцы, чего ради иметь особливый тем нищим список, и всякий месяц пересматривая на лицо, кормовые деньги давать самим тем нищим, а на умерших и на выбылых отнюдь не давать, чего главной полицмейстерской Канцелярии смотреть накрепко; а прочих нищих, которых в богадельни принимать не надлежит, о тех чинить по прежним же указам той же Канцелярии, не представляя в Сенат; а ежели кто, презирая указы, людей и крестьян и посадских из своих посадов станут попускать просить милостыни, таких отдавать по первом, втором и третьем приводе со штрафами и наказанием по указам, а по четвертом приводе могущих работать определять в работу казенную и на фабрики вечно и безвозвратно; в том числе разумеются и малолетние, которые годны в ученики на фабрики, а женский пол, ежели не надобны на фабрики, то летныя в услужение, а малолетние для воспитания и владения вечно ж тем, кто взять пожелает, и давать на них обыкновенные деньги; а солдатских и прочих служилых чинов детей в гарнизонную школу, дабы всемерно никого бродящих и вожаков и валяющихся нищих не было. [24]
Пусть данные прямые 1 и la делят квадрат на четыре части, площади которых равны 81 82 83 и 8д, причем для первой прямой площади частей, на которые она делит квадрат, равны 81 82 и 83 84 а для второй они равны 82 83 и Si St - Так как по условию Si - 82 - 83, то 81 82 - 82 83 - Это означает, что образ прямой li при повороте относительно центра квадрата на 90 или - 90 не просто параллелен прямой la, а совпадает с ней. [25]
Непосредственно из определения инверсии видно, что точки окружности S она оставляет на месте, точки, лежащие внутри S, переводит наружу, а точки, лежащие вне S, - внутрь S. Образом прямой, проходящей через центр инверсии, является сама эта прямая. [26]
Так как при инверсии касающиеся окружности и прямые переходят в касающиеся ( см. задачу 28.4), то угол между образами окружностей равен углу между образами касательных к ним. Поэтому угол между образами прямых 1 и 1з при инверсии с центром О равен углу между этими прямыми. [27]
В этом месте надо сделать оговорку, связанную с тем, что инверсия не является в строгом смысле слова преобразованием плоскости, так как точка О никуда не переходит. Поэтому формально мы не имеем права говорить об образе прямой, проходящей через точку О, а должны рассматривать объединение двух лучей, получающихся из прямой выбрасыванием точки О. Аналогично обстоит дело и с окружностями, содержащими точку О. Мы, тем не менее, будем придерживаться этих нестрогих, но зато более наглядных формулировок, надеясь, что читатель легко восстановит точный смысл. [28]
Тогда окружность, проходящая через А, В и С, будет образом прямой В С при этой инверсии, и ее центр строится по предыдущей задаче. [29]
Из определения сразу же следует, что при аффинных коллинеациях сохраняется параллельность прямых. Действительно, если а Ъ и а Ь, то множество а ( ] &, где а и Ь - образы прямых а и Ь при аффинной коллинеаций, пусто. [30]