Cтраница 2
Определение 1.12. Будем говорить, что обратимость оператора Л согласована с числом k ( Л), если Л обратим, обратим только слева или обратим только справа в зависимости от того, является ли число k ( A) равным нулю, положительным или отрицательным, соответственно. [16]
Из формулы ( 25) следует непрерывная обратимость оператора А. [17]
При N1 следствие 9.5.1 содержит условия обратимости двучленного оператора. Если 7V1 или в операторе Ъ содержится более двух слагаемых, проверка обратимости оператора сводится к проверке того, является ли построенное линейное расширение гиперболическим. Эта классическая задача теории динамических систем, как известно, в общем случае эффективно не решается. Приведем конкретный пример, когда такое исследование удается провести и теорема 9.2 приводит к явным условиям обратимости оператора. [18]
Осталось доказать что условие (2.2) является необходимым условием обратимости оператора А хотя бы о одно. [19]
Условие а) в теореме 0.2 естественно, оно равносильно обратимости оператора А. [20]
В теоремах Фредгольма, по существу, речь идет об обратимости оператора А - / и эти теоремы означают, что К1 - или регулярная точка для А или собственное значение конечной кратности. Поэтому всякая отличная от О точка спектра компактного оператора является его собственным значением конечной кратности. Кроме того, мы знаем, что множество таких собственных значений не более чем счетно. Напомним, кстати, что точка 0 всегда принадлежит спектру компактного оператора в бесконечномерном пространстве, но не обязана, вообще говоря, быть собственным значением. Компактные операторы, для которых 0 служит единственной точкой спектра, называются ( абстрактными) операторами Вольтерра. [21]
В теоремах Фредгольма, по существу, речь идет об обратимости оператора А - / и эти теоремы означают, что А, 1 - или регулярная точка для А или собственное значение конечной кратности. Поэтому всякая отличная от 0 точка спектра компактного оператора является его собственным значением конечной кратности. Кроме того, мы знаем, что множество таких собственных значений не более чем счетно. Напомним, кстати, что точка 0 всегда принадлежит спектру компактного оператора в бесконечномерном пространстве, но не обязана, вообще говоря, быть собственным значением. Компактные операторы, для которых 0 служит единственной точкой спектра, называются ( абстрактными) операторами Вольтерра. [22]
Таким выбором базиса приводим оператор к виду (9.15), и обратимость оператора b следует из теоремы 9.4, поскольку он разлагается в прямую сумму двух операторов в пространствах скалярных функций. [23]
Ориентируемость этого многообразия сразу же вытекает из формулы (13.8) и обратимости оператора & ус ( х, Уо) Теорема доказана. [24]
Будем считать, что при каждом конкретном выборе N можно доказать обратимость оператора ( I - Аж) и непрерывность оператора ( I - Аж) - 1, где I - единичный оператор. [25]
По аналогии со случаем индивидуального оператора будем также говорить, что обратимость парного оператора определяется его символом, если парный оператор обратим хотя бы с одной стороны в том и только в том случае, когда обе компоненты его символа нигде на обращаются в нуль, а при выполнении этого условия обратимость парного оператора согласована с индексом его символа. [26]
Если использовать другую терминологию, то утверждение теоремы 9.3 означает, что обратимость оператора b эквивалентна возможности его приведения к специальной блочно-диагональной форме. Наиболее наглядно такая формулировка выглядит в случае, когда любое комплексное векторное расслоение над М тривиально. [27]
По аналогии со случаем индивидуального оператора будем также говорить, что обратимость парного оператора определяется его символом, если парный оператор обратим хотя бы с одной стороны в том и только в том случае, когда обе компоненты его символа нигде на обращаются в нуль, а при выполнении этого условия обратимость парного оператора согласована с индексом его символа. [28]
Тогда для любой функции f из образа оператора b выполнено соотношение [ a ( xi) ] - lf ( x) [ a ( x2) ] - lf ( x2) и образ не совпадает со всем пространством. Это противоречит обратимости оператора. Следовательно, отображение а инъективно. [29]
Если, кроме того, выполняется дополнительное требование, то аналогичными рассуждениями можно показать, что оператор А является оператором регулярного типа. Отсюда уже следует обратимость оператора А. [30]