Cтраница 3
Условие счетности атомических пространств с мерой формулируется очень просто: это в точности то же самое, что оконечное пространство с мерой, т.е. пространство, которое представляется объединением счетного числа множеств конечной меры. Для делимых пространств с мерой этого условия недостаточно: для получения пространства с мерой Лебега необходимо в дополнение к о-конечности потребовать сепарабельность этого пространства с мерой. [31]
Из приведенного доказательства видно, что построенный нами гладкий полный инволютивный набор функций принципиально не может быть набором аналитических функций ( если многообразие аналитическое), поскольку каждая из функций этого набора тождественно равна нулю на связном замкнутом множестве, являющемся дополнением-к объединению счетного числа открытых не-лересекающихся шаров. Таким образом, следует еще выяснить возможность существования: а) аналитических полных инволю-тивных наборов, б) боттовских полных инволютивных наборов. [32]
Покажем, что мера ц не является 0-конечной. Но объединение счетного числа конечных множеств является счетным множеством, а отрезок [0; 1] - несчетное множество. Полученное противоречие доказывает правильность сформулированного утверждения. [33]
Действительно, пусть Е, Е a Q, - множество меры нуль. Так как объединение счетного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль, то нам достаточно показать, что образ множества Е6 - Е П Q6 ПРИ любом достаточно малом б0 при преобразовании ( 9) есть множество меры нуль. [34]
Все построение проводится для множеств на прямой, но автоматически переносится на / г-мерное пространство. В этой главе I - всегда обозначает интервал, F пли 3F - замкнутые множества, G или & - открытые множества, FQ - объединение счетного числа замкнутых, 6rs - переселение счетного числа открытых. [35]
Решение Совокупность множеств 5i является кольцом, а поэтому и полукольцом. Функция множеств ц, определенная на 9J, удовлетворяет всем условиям меры. Поскольку объединение счетного числа попарно непересекающихся множеств кольца 9J никогда не принадлежит 9t, то можно считать, что мера ц является а-аддитивной. [36]
Каждое множество ( а, Б) - счетное, так как количество элементов его равно количеству элементов множества В. Число множеств тоже счетно, так как оно равно количеству элементов множества А. А объединение счетного числа счетных множеств счетно. [37]
Идеалом булевой алгебры проекторов В называется подмножество D сг В, удовлетворяющее следующим условиям: а) если Е 6 D, F. Идеал D называется плотным, если любой элемент из В является объединением элементов из D. Идеал D, содержащий объединение любого счетного числа проекторов из D, называется о-идеалом. [38]
Множество Q рациональных чисел счетно. В самом деле, рациональные числа представляются несократимыми дробями с целым числителем и знаменателем. Множество дробей с данным знаменателем счетно, поэтому Q представимо в виде объединения счетного числа счетных множеств. Забегая вперед ( см. раздел 1.6), отметим, что множество Ж всех действительных чисел несчетно. [39]
Но каждое множество ASn ( 0) компактно, поскольку оператор А вполне непрерывный, а шар S, ( 0) - ограниченное множество. Кроме того, известно ( см. следствие из теоремы 6, гл. Таким образом, полное нормированное пространство R ( А) представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств. Это приводит к противоречию с теоремой Бэра о категориях ( см. теорему 9, гл. Поэтому, действительно, множество R ( А) не является замкнутым. [40]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.10. Метрическое пространство ( X, р) сепа-рабельно тогда и только тогда, когда оно обладает счетной боной. Пусть ( X, р) сспарабелыю и М а - некоторое счетное и всюду плотное в X множество. Ясно, что система S открытых в X множеств является счетной, так как она представляет собой объединение счетного числа счетных систем. [41]
Хаусдорфу, существует классификация Лузина - Балле Пуссена. В этой классификации в качестве инструмента для исследования строения множеств данного класса Ка, аш1, выбраны множества, представимые в виде пересечения и не представимые в виде объединения счетного числа множеств классов а; эти множества наз. [42]
NI является объединением меньших классов. Поэтому каждое из множеств В принадлежит какому-то классу B0i, где а8 - - некоторый ординал, меньший NI, т.е. конечный или счетный ординал. Ординал / 3 есть точная верхняя грань счетного числа счетных ординалов и потому счетен. В самом деле, рассмотрим ординалы / 38 - как начальные отрезки в каком-то большем ординале ( например, в HI); их точная верхняя грань будет объединением счетного числа счетных начальных отрезков и потому будет счетным ординалом. [43]