Cтраница 3
Подмножество M & G является эндомножеотвом тогда и только тогда, когда М является теоретико-множественным объединением подалгебр алгебры tX ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. [31]
Впрочем, для интересующих нас целей часто бывает удобнее вместо одной большой частичной системы рассматривать теоретико-множественное объединение нескольких малых, на каждой из которых могут быть определены свои наборы предикатов. [32]
Символ любой буквы из А понимается как множество, состоящее из одной буквы, а 5tiU 2 - как обычное теоретико-множественное объединение. [33]
Очевидно, каждое поле множеств является булевой алгеброй, причем булевыми операциями U, П - - будут операции взятия теоретико-множественного объединения, пересечения и дополнения соответственно. [34]
Если поле ( подмножеств пространства X) содержит все одноточечные подмножества пространства X, то бесконечные объединения и пересечения всегда совпадают с теоретико-множественными объединениями и пересечениями соответственно. [35]
Самыми конкретными из всех рассмотренных нами структур были структуры, состоящие из подмножеств различных множеств, с операцией объединения, совпадавшей со взятием теоретико-множественного объединения, и операцией пересечения, совпадавшей со взятием теоретико-множественного пересечения. [36]
Вид преобразований, соответствующих R и R, зависит от задач, решаемых в системе, но, как правило, R является теоретико-множественным объединением или выборкой по определенным признакам, a R - агрегацией компонент содержательных частей векторов. Индекс оператора / обозначает выделенный уровень иерархии системы, а ф - порядковый номер оператора данного уровня, запись под оператором обозначает множества и подмножества точек, по которым ведется преобразование компонент векторов. [37]
Множество Wh ( А) очевидным образом является абелевой полугруппой, единицей которой является класс эквивалентности пары ( Л, А), а сложение задается теоретико-множественным объединением, сопровождаемым отождествлением над А. Тот факт, что эта полугруппа является на самом деле группой, следует из ее равносильного алгебраического определения ( см. В. [38]
Отображение hQ является Q-гомоморфизмом алгебры А в S ( Q j4)), т.е. / IQ преобразует все бесконечные объединения и пересечения из ( Q) в соответствующие теоретико-множественные объединения и пересечения. [39]
Именно отсюда вытекает, что структура всех подалгебр любой алгебры G является полной, - объединением данной системы подалгебр Аа, а Е /, является подалгебра, порожденная теоретико-множественным объединением подмножеств АО. [40]
Множество всех разреженных левых идеалов по - ругруппы V всех эндоморфизмов свободной алгебры & явля - 1ется полной структурой, в которой наименьшая верхняя грань ( ( совпадает с их теоретико-множественным объединением. [41]
Булева алгебра - это непустое множество 81, в котором определены две бинарные операции U, Пи одна унарная операция - , удовлетворяющие, грубо говоря, тем же самым свойствам, что и операции взятия теоретико-множественного объединения, пересечения и дополнения подмножеств фиксированного пространства. Для произвольных элементов Л, В из 31 единственным образом определены элементы A ( J В и А Л В из 31, называемые соответственно объединением и пересечением А и В. Операции U, Л, - описываются такой системой аксиом, что свойства этих операций аналогичны свойствам операций взятия объединения, пересечения и дополнения множеств соответственно. [42]
Простой анализ показывает, что аналогичная теорема полноты для исчисления предикатов совпадает с теоремой, утверждающей, что существует такой изоморфизм h алгебры Линденбаума - Тарского 81 на некоторое поле множеств, который преобразует все объединения и пересечения ( 2) в соответствующие теоретико-множественные объединения и пересечения. [43]
S ( У) всех подалгебр алгебры У является полной структурой, в которой наибольшая нижняя грань совпадает с теоретико-множественным пересечением ( в необходимых случаях пустое множество включается в число подалгебр), а наименьшая высшая грань, как правило, отличается от теоретико-множественного объединения. [44]
Введя и для этого случая в рассмотрение эндрмножества как объединение ендоморрых образов при частичных эндоморфизмах, легко заметим, что в отличие от случая полных эндоморфизмов здесь для любой алгебры не только для свободных каждое таков ендомножвотво будет объединением подалгебр и обратно, каждое теоретико-множественное объединение подалгебр явялятоя эн-домножеотвом. [45]