Cтраница 3
На основании соотношения ( 15) заключаем: при линейном преобразовании пространства все параллелепипеды деформируются так, что их ориентированные объемы изменяются пропорционально; общим коэффициентом изменения объемов является определитель преобразования. Из формулы ( 15) видно также следующее: если Det А 0, то тройка векторов х, у, z и тройка их образов ориентированы одинаково ( т и т имеют один и тот же знак); если Det Л 0, то тройки х, у, z и х, у, z ориентированы различно. [31]
Образом единичного куба И ( Е) при отображении ФА будет как раз параллелепипед П ( А), а поскольку v ( U ( E)) 1, определитель det ЦА det А равен коэффициенту изменения ориентированного объема. [32]
Рассмотрим единичный куб, построенный на базисных векторах еь еъ еа. Ориентированный объем Ve этого куба равен 1 в зависимости от того, будет ли тройка векторов е, еа, е3 правой или левой. [33]
Смешанное произведение обладает всеми свойствами линейности и антикоммутативности внешнего произведения. Оно представляет ориентированный объем параллелепипеда, построенного на п векторах. [34]
Если в Lk дана ориентация ( заданием какого-нибудь базиса аг... Lfe определен также ориентированный объем ориентированных параллелепипедов. [35]
Объем всегда неотрицателен, ориентированный объем может иметь любой знак. [36]
Допустим, что на жидкость действуют только поверхностные силы. Выделим мысленно какой-то малый цилиндрический произвольно ориентированный объем жидкости. [37]
Может возникнуть необходимость рассмотреть объем и ориентированный объем для систем, содержащих более п векторов. Согласно формуле (35.4) и свойству В из (34.4) обе функции на таких системах должны быть равны нулю. [38]
Что изменится, если мы рассмотрим ориентированный объем в комплексном пространстве. [39]
В то время как общая аффинная группа действует транзитивно над системами из п 1 точек, не расположенных в одной плоскости, в уни-модулярной подгруппе существует инвариант такого множества. Определитель уЬ инвариантен относительно унимодулярной подгруппы и называется ориентированным объемом параллелепипеда, построенного на этих п векторах. [40]
При перемене двух аргументов местами ориентированный объем лишь меняет свой знак, поэтому аналогичное свойство в отношении линейной комбинации справедливо для каждого аргумента. Имея в виду именно это свойство, мы будем говорить, что ориентированный объем представляет собой линейную функцию по каждому аргументу. [41]
И наконец, какая же связь существует в общем случае между объемом и ориентированным объемом. [42]
Эта функция заведомо линейна по каждому аргументу, так как данным свойством обладают и миноры, и алгебраические дополнения. Она равна единице на ортонормированной системе (21.7), в чем легко убедиться непосредственной проверкой. Но ориентированный объем совпадает с определителем матрицы, в которой координаты векторов расположены по строкам. Так как определитель матрицы совпадает с определителем транспонированной матрицы, то доказательство теоремы Лапласа будет закончено. [43]
Заметим, что правые и левые базисы определяют разбиение множества всех базисов пространства на два класса. Само название правые и левые не имеет глубокого смысла, а связано лишь с удобным способом распознавания класса, к которому принадлежит тот или иной базис. С этими двумя классами связано по существу и понятие ориентированного объема. [44]
Все базисы на прямой линии можно тоже разбить на два класса, объединяя в один класс векторы, направленные в одну сторону. При этом оказывается, что величина направленного отрезка является полным аналогом ориентированного объема, если оба эти понятия рассматривать как функции на системах векторов. Свойство В справедливо, так как величина нулевого отрезка равна нулю. Выполнение свойства С очевидно. [45]