Cтраница 3
Если К - множество из г оо точек и d достаточно велико по сравнению с г, то оба пространства K n ( L ( K и A. L ( K)) естественно гомеоморфны ( г - 1) - мерному симплексу и ограничение отображения red на K n ( K ( L осуществляет гомеоморфизм между ними. [31]
Сохраним предыдущие обозначения ( в частности, Е я ( М)) и предположим дополнительно, что X отделимо и что со непрерывна. Пусть А - такой кусок многообразия X, что ограничение отображения я на дА является субмерсией и ограничение отображения л на пересечение куска А с носителем формы со собственно. [32]
Если / - накрытие, то М называется базой, a W - тотальным пространством этого накрытия. Накрытие называется локально изоме-тричным, если у каждой точки из W существует окрестность V, такая что ограничение отображения / на V является изометрией. [33]
Предположим, что такое собственное значение Я с Я 1 существует. В силу леммы (3.3), либо А, 1, либо найдется двумерное инвариантное подпространство V, такое, что ограничение отображения dg на подпространство V представляет собой поворот. [34]
X замкнуто, то отображение / топология, пространства А в топология, пространство Y непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны ограничения отображения / на замыкания клеток комплекса X. [35]
Как бы то ни было, мы утверждаем, что ( il ( L), /) - универсальная обертывающая алгебра для L, где /: L - il ( L) - ограничение отображения л на L. Действительно, пусть отображение /: L 2l таково, как в определении. [36]
Для изучения этой книги достаточно знания элементов высшей алгебры и теории множеств. Точнее, мы предполагаем, что читатель знаком с понятием функции ( или отображения) и примыкающими сюда понятиями области определения, области значений, образа, прообраза, взаимно однозначного отображения, отображения на, композиции отображений, отображения вложения и ограничения отображения; с понятием отношения эквивалентности и класса эквивалентности; с определением и простейшими свойствами замкнутых и открытых множеств; с понятиями окрестности, замыкания, внутренности, индуцированной топологии, прямого произведения, непрерывного отображения, гомеоморфизма, компактности, связности, открытого покрытия п-мерного евклидова пространства Rn и, наконец, с определением и основными свойствами гомоморфизма, автоайэрфизма, ядра и образа, группы, нормального делителя, факторгруппы, кольца, идеала ( двустороннего), группы перестановок, определителя и матрицы. [37]
& ( а Ь); аналогичное рассуждение показывает, что h - тождественное преобразование вне прямой А ( а, с); следовательно, h тождественно на X, и так как Л7 содержит три точки, не принадлежащие одной прямой, то единственным преобразованием подобия плоскости П, которое является продолжением преобразования h, будет тождественное преобразование. Другими словами, / есть ограничение отображения g па множество X и это отображение g единственно. [38]
V, что R ( E) отображает пространство V в себя, если Е - элемент из ( §, в котором отображение R определено. При этом может случиться, что отображение R определено в точках, в которых отображение R не определено. I, Y) является ограничением отображения ( dR) ( I, Y) на V. [39]
Единичным ( или тождественным) отображением ех X - X называется отображение, переводящее каждый элемент х - X в себя. Если X - подмножество в У; X С У, то иногда бывает полезным специальное отображение - вложение I: X - У, которое каждому элементу х X сопоставляет тот же самый элемент, но уже во множестве У. Например, вложение /: X - У есть ограничение единичного отображения еу У - У. [40]
Поскольку г ] з ( F) F, а ограничение отображения ijj на Ct D является гомеоморфизмом, то из этого следует, что ty-l ( x) - либо граничная точка множества F, либо принадлежит D. D, поскольку F имеет лишь конечное число граничных точек, а у ij) нет периодических точек. [41]
Пусть А - ассоциативная унитарная алгебра над совершенным полем / С, и пусть V - конечномерное подпространство в Л, являющееся системой почти-образующих алгебры А. Пусть f - отображение алгебры А в себя, которое является или унитарным эндоморфизмом алгебры А, или деривацией. Предположим, что f отображает пространство V в себя и что ограничение отображения f на пространство V полупростое, тогда f - полупростое отображение. [42]
Мы все еще предполагаем, что условия ( А), ( Б), ( В) в (32.4) имеют место. Как в (32.1) мы можем определить теоретико-множественную биекцию ф: G-Hy продолжающую оба отображения ф и фв, ограничение которой на большую клетку И есть изоморфизм многообразий. Доказательство теоремы 32.1 будет закончено ( по модулю ( А), ( Б), ( В)), если мы сможем показать, что ф - гомоморфизм групп, поскольку отсюда будет в свою очередь следовать, что Ф - изоморфизм многообразий. Ограничения отображения ф на Л /, U, U - t Za как мы уже знаем, являются мор-физмами алгебраических групп. [43]
Элемент V 9 есть в точности многообразие клиффордовых инверсных полугрупп. Решетка L ( 2f) континуальна хотя бы уже в силу континуальности L ( 2T), но существует также континуум надгрупповых многообразий инверсных полугрупп. Единица решетки L ( &) не представима в виде объединения конечного числа неединичных элементов. Ограничение отображения qi на произвольный kerp2 - класс является изоморфным вложением этого класса в подрешетку надгрупповых многообразий. [44]
Следовательно, образ при отображении ф касается семейства / г-мериых гиперплоскостей только в изолированных точках. Пошевелив, если это необходимо, кривую L, можно добиться, чтобы ни одна из этих точек не принадлежала L. Отображение f трансверсально к слоям слоения U на множестве Qi U L. Более того, можно предположить, что аппроксимация была выбрана настолько-хорошей, что ограничение отображения ф на любой симплекс является вложением и образ любого симплекса принадлежит некоторой окрестности со структурой произведения. [45]