Cтраница 3
Заметим сразу, что для ограниченности оператора ft, заданного формулой (1.1), не является необходимой раздельная ограниченность оператора сдвига Таи ( х) и ( а ( х)) и оператора умножения на функцию а. Например, оператор Ьи ( х) 2хи ( х2) ограничен в пространстве L2 [0, 1], но входящий в него оператор сдвига Ти ( х) и ( х2) не является ограниченным. [31]
Подчеркнем, что, в отличие от определения линейного функционала, это определение не содержит требования об ограниченности оператора. [32]
ГОЭ pe), Lp ( r, р)) 3 определенный равенством ( YyX bf)) Ограниченность оператора - У - проверяется непосредственно При этом используется то, что производная dg / dt непрерывна на Г и всюду отлична от нуля. [33]
С является тензорным произведением операторов / и J ( построенным по / и О - В силу 4.1 и ограниченности операторов / и J оператор / С ограничен. [34]
В случае k ( t, 1) 6 ( 1) ( 0 л1; см. § 5) уравнение (12.1) можно решать в пространстве гельдеровых функций Я ( 1, 0); к сожалению ядро s ( / f 1) ( 1 - О 1 ( 1 Р Н-1) не 1рииадлежит классу fl R 1) и, поэтому, уравнение (8.1) при с, 0 не может быть решено в прост-ранстве Я ( 1, 0); эту трудность можно преодолеть введением веса в точке х ( см. [ 366 1), но нужны хорошие теоремы Ьб ограниченности операторов вида (12.1) в таких пространствах. [35]
Ограниченность оператора f была установлена при более слабых предположениях. Покажем, что при этих более слабых предположениях может быть доказана непрерывность оператора f в некотором ослабленном смысле. [36]
Ограниченность оператора Ф в соответствующих пространствах гарантирует наличие такого свойства. [37]
В этих пространствах рассмотрим операторы вида Ьи ( х) а ( х) и ( а ( х)) в предположение что а & С1 ( Х) и что отображение а: Х - - Х биективно и / раз непрерывно дифференцируемо. Для ограниченности оператора b в пространстве Wlp ( X) потребуем дополнительно, чтобы функция а ( х) af ( x) l - llv была ограниченной и продолжалась до непрерывной функции на X. Последнее ограничение существенно, если производная может обращаться в нуль. [38]
Операторы А2 при Re z 0 уже будут неограниченными, если неограничен сам оператор А. Из ограниченности операторов A - z вытекает, что операторы Az замкнуты. [39]
Заметим, что вместо условия сильной непрерывности оператора A ( t) можно рассмотреть менее ограничительное. Из (2.3) тогда следует сначала равномерная по t и s ограниченность оператора U ( t, s) ( 0J s J t T), а затем и его непрерывность по t в норме операторов. Если теперь предположить, что оператор слабо непрерывен, то подынтегральная функция в (2.3) будет также слабо непрерывной и, следовательно, оператор U ( t, s) будет по t слабо дифференцируем и будет удовлетворять уравнению (2.4) в слабом смысле. [40]
Замкнутость оператора означает, что если zn D ( A), zn-z, a Azn - u, то z D ( A) и u Az. Ясно, что при D ( A) Z и линейности и ограниченности оператора А этот оператор замкнут. [41]
В общем случае линейных топологических пространств, как мы уже говорили, из ограниченности оператора не следует его непрерывность. [42]
Эту теорему можно легко вывести с помощью оценок из книги Н.И.Муохелишвили [ I ] ( стр. Теорема 6.1 легко выводится также из теоремы И. И. Привалова 41 ] ( стр. Sr в пространстве L ( f) Действительно, из ограниченности оператора Sr в Ь ( Г) следует. [43]
Условие, что отображение а обратимо, не используется в первой части доказательства теоремы и, значит, если фгб. У), то оператор b ограничен и в случае необратимого а. Если 1 1, то утверждение теоремы полностью переносится на случай необратимого а. Если отображение а не является инъективным и N1, то условие фгб f Lq ( Y) является необходимым и достаточным для ограниченности оператора Ь, но равенство (1.8) может не выполняться. [44]